[논문 리뷰] Asymptotics of the $D^8 R^4$ genus-two string invariant

Eric D’Hoker, Michael Green외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 07.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 47인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 초등 이론에서 $D^8\mathcal{R}^4$ 상호작용와 관련된 종수 2 모듈러 그래프 함수의 점 渐진적 행동을 계산한다. 비분리 및 분리된 극한을 통해 변형 매개변수에 대한 명시적 로렌트 및 다항식 전개를 유도하며, 스트링 불변량의 트로피컬 극한이 고차 도함수 스트링 보정에 기인한 홀수 리만 제타 값 포함의 하위선형 항을 제외하고는 두 루프 초중력 이론 적분량을 재현함을 보여준다.

ABSTRACT

We continue our investigation of the modular graph functions and string invariants that arise at genus-two as coefficients of low energy effective interactions in Type II superstring theory. In previous work, the non-separating degeneration of a genus-two modular graph function of weight $w$ was shown to be given by a Laurent polynomial in the degeneration parameter $t$ of degree $(w,w)$. The coefficients of this polynomial generalize genus-one modular graph functions, up to terms which are exponentially suppressed in $t$ as $t o \infty$. In this paper, we evaluate this expansion explicitly for the modular graph functions associated with the $D^8 {\cal R}^4$ effective interaction for which the Laurent polynomial has degree $(2,2)$. We also prove that the separating degeneration is given by a polynomial in the degeneration parameter $\ln (|v|)$ up to contributions which are power-behaved in $v$ as $v o 0$. We further extract the complete, or tropical, degeneration and compare it with the independent calculation of the integrand of the sum of Feynman diagrams that contributes to two-loop type II supergravity expanded to the same order in the low energy expansion. We find that the tropical limit of the string theory integrand reproduces the supergravity integrand as its leading term, but also includes sub-leading terms proportional to odd zeta values that are absent in supergravity and can be ascribed to higher-derivative stringy interactions.

연구 동기 및 목표

• 초등 이론에서 $D^8\mathcal{R}^4$ 상호작용와 관련된 종수 2 모듈러 그래프 함수의 비분리 및 분리된 극한을 계산하기 위해.
• 스트링 불변량의 완전한 트로피컬(또는 완전한 극한) 극한을 유도하고, 이를 두 루프 초중력 이론 진폭과 비교하기 위해.
• 트로피컬 극한에서 초중력 이론에 존재하지 않지만 고차 도함수 스트링 상호작용에서 기인하는 하위선형 보정을 식별하기 위해.
• 극한 계수의 모듈러성 및 산술적 구조를 규명하기 위해, 베르누이 다항식과 제타 값 포함

제안 방법

• 비분리된 극한을 분석하기 위해 터널 구조를 사용하여 종수 2 리만 곡면을 구멍이 있는 토러스 쌍으로 분해하기 위해.
• 변형 매개변수 $t$에 대한 점근 전개를 통해 그린 함수와 카와즈미-짱 불변량의 극한을 계산하기 위해.
• 일반화된 모듈러 그래프 함수와 에이젠슈타인 급수, 크로네커-에이젠슈타인 급수와의 관계를 사용하여 모듈러 그래프 함수의 극한을 평가하기 위해.
• 전역 터널 구조와 아벨 미분의 극한을 사용하여 분리된 극한을 $\ln|v|$의 다항식으로 표현하고, 거듭제곱 보정 항까지 고려하기 위해.
• 변수 재정의를 통해 $t \to \infty$ 및 $y = \pi \tau_2 \to \infty$로 갈 때 트로피컬 극한을 추출하고, 초중력 이론 적분량과 일치시키기 위해.
• 적분 축소 및 변분 기법을 사용하여 개별 구성요소 $\mathcal{Z}_i$ 및 $\mathcal{K}^c$의 트로피컬 극한을 계산하며, $\zeta(3)$, $\zeta(5)$, $\zeta(7)$ 및 $\zeta(3)^2$ 기여를 포함하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종수 2 모듈러 그래프 함수가 $D^8\mathcal{R}^4$ 상호작용에 대해 비분리된 극한에서 어떻게 행동하는가?
• RQ2 이 불변량의 분리된 극한의 구조는 무엇이며, 비분리된 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 스트링 불변량의 트로피컬 극한이 두 루프 초중력 이론 적분량을 어느 정도 재현하는가?
• RQ4 트로피컬 극한에서 초중력 이론에 존재하지 않지만 고차 도함수 스트링 보정에서 기인하는 항은 무엇인가?
• RQ5 홀수 제타 값과 베르누이 다항식은 스트링 불변량의 점근 전개에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 비분리된 극한에서 $D^8\mathcal{R}^4$ 불변량은 $t$에 대한 $(2,2)$ 차수의 로렌트 다항식으로 주어지며, 계수는 베르누이 다항식 $B_{2n}(u_2)$와 제타 값으로 표현된다.
• 분리된 극한은 거듭제곱 보정 항까지 고려한 $\ln|v|$의 다항식으로 주어지며, 주요 행동은 $y = \pi \tau_2$로 표현된 트로피컬 극한에 의해 기술된다.
• 전체 불변량 $\mathcal{B}_{(2,0)}^{(t)}$의 트로피컬 극한은 두 루프 초중력 이론 적분량을 주항으로 재현하며, $\zeta(3)$, $\zeta(5)$, $\zeta(7)$ 및 $\zeta(3)^2$ 기인의 추가 하위선형 기여가 있다.
• 비례 상수 $\zeta(3)$, $\zeta(5)$, $\zeta(7)$를 가지는 하위선형 항은 초중력 이론에 존재하지 않지만 고차 도함수 스트링 상호작용에서 기인한다.
• 트로피컬 극한에서 $1/y^2$ 계수는 비해석적 성격을 지닌 적분 $\mathcal{K}_{aaaa}^0$ 때문에 결정되지 않았지만 간접적으로 기여가 유추된다.
• 완전한 트로피컬 극한은 두 루프 초중력 이론의 파인먼 다이어그램 합과 홀수 제타 값 항까지 일치하며, 초중력 근사 이론을 초월한 스트링 보정의 존재를 확인한다.