[논문 리뷰] Augmented Sparsifiers for Generalized Hypergraph Cuts.

Austin R. Benson, Jon Kleinberg외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 16.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 60인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 하이퍼그래프 컷을 하위모듈라르 카디널리티 기반 분할 함수로 근사하기 위해 희소 방향 그래프를 사용하는 스퍼스피케이션 프레임워크를 소개한다. 이는 더 빠른 근사 min $s$-$t$ 컷 알고리즘을 가능하게 한다. 오목 함수를 조각별 선형 곡선으로 근사함으로써, 각 하이퍼엣지가 $O(\varepsilon^{-1}|e|\log|e|)$개의 엣지로 줄어들며, 밀도 있는 감소 방식에 비해 런타임 효율성이 크게 향상된다.

ABSTRACT

In recent years, hypergraph generalizations of many graph cut problems have been introduced and analyzed as a way to better explore and understand complex systems and datasets characterized by multiway relationships. Recent work has made use of a generalized hypergraph cut function which for a hypergraph $\mathcal{H} = (V,E)$ can be defined by associating each hyperedge $e \in E$ with a splitting function ${\bf w}_e$, which assigns a penalty to each way of separating the nodes of $e$. When each ${\bf w}_e$ is a submodular cardinality-based splitting function, meaning that ${\bf w}_e(S) = g(|S|)$ for some concave function $g$, previous work has shown that a generalized hypergraph cut problem can be reduced to a directed graph cut problem on an augmented node set. However, existing reduction procedures often result in a dense graph, even when the hypergraph is sparse, which leads to slow runtimes for algorithms that run on the reduced graph. We introduce a new framework of sparsifying hypergraph-to-graph reductions, where a hypergraph cut defined by submodular cardinality-based splitting functions is $(1+\varepsilon)$-approximated by a cut on a directed graph. Our techniques are based on approximating concave functions using piecewise linear curves. For $\varepsilon > 0$ we need at most $O(\varepsilon^{-1}|e| \log |e|)$ edges to reduce any hyperedge $e$, which leads to faster runtimes for approximating generalized hypergraph $s$-$t$ cut problems. For the machine learning heuristic of a clique splitting function, our approach requires only $O(|e| \varepsilon^{-1/2} \log \log \frac{1}{\varepsilon})$ edges. This sparsification leads to faster approximate min $s$-$t$ graph cut algorithms for certain classes of co-occurrence graphs. Finally, we apply our sparsification techniques to develop approximation algorithms for minimizing sums of cardinality-based submodular functions.

연구 동기 및 목표

• 기존의 하이퍼그래프에서 그래프로의 감소 방식이 밀도 있는 그래프를 생성해 $s$-$t$ 컷 알고리즘의 속도를 저하시키는 문제를 해결하기 위해.
• 더 적은 엣지를 사용하여 $(1+\varepsilon)$-정확도로 일반화된 하이퍼그래프 컷을 근사하는 스퍼스피케이션 기법을 개발하기 위해.
• 공존 그래프에서 하이퍼엣지의 복잡도를 줄임으로써 더 빠른 근사 min $s$-$t$ 컷 계산을 가능하게 하기 위해.
• 카디널리티 기반 하위모듈라르 함수의 합을 최소화하기 위한 효율적인 근사 알고리즘을 제공하기 위해.

제안 방법

• 하위모듈라르 카디널리티 기반 분할 함수를 모델링하기 위해 오목 함수를 조각별 선형 곡선으로 근사한다.
• 각 하이퍼엣지를 크기가 $O(\varepsilon^{-1}|e|\log|e|)$인 희소 부분그래프로 대체하는 확장된 방향 그래프를 구축한다.
• 모든 노드 분할에 대해 결과 그래프가 하이퍼그래프 컷 값을 $1+\varepsilon$ 요인 이내로 유지하도록 보장한다.
• 클리크 분할 함수에 스퍼스피케이션을 적용하여 하이퍼엣지당 $O(|e|\varepsilon^{-1/2}\log\log\frac{1}{\varepsilon})$개의 엣지로 줄인다.
• 희소 그래프 구조를 활용해 공존 그래프에서의 min $s$-$t$ 컷 알고리즘의 속도를 높인다.
• 스퍼스피케이션 감소를 활용해 하위모듈라르 함수의 합을 최소화하기 위한 근사 알고리즘을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $(1+\varepsilon)$-근사 컷 값의 유지 조건을 충족하면서도 하이퍼그래프-그래프 감소에서 엣지 수를 줄일 수 있는가?
• RQ2 하위모듈라르 카디널리티 기반 분할 함수를 가진 하이퍼엣지를 스퍼스피케이션하기 위해 필요한 최소 엣지 수는 얼마인가?
• RQ3 클리크 분할과 같은 특정 함수에 대해 스퍼스피케이션 성능는 어떻게 달라지는가?
• RQ4 실제로 스퍼스피케이션 감소가 근사 min $s$-$t$ 컷 계산을 가속화하는가?
• RQ5 스퍼스피케이션 프레임워크를 하위모듈라르 함수의 합 최소화에까지 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 각 하이퍼엣지를 $O(\varepsilon^{-1}|e|\log|e|)$개의 엣지로 줄이며, 일반화된 하이퍼그래프 컷의 $(1+\varepsilon)$-근사치를 유지한다.
• 클리크 분할 함수의 경우 엣지 수가 $O(|e|\varepsilon^{-1/2}\log\log\frac{1}{\varepsilon})$로 줄어들어 일반적인 경계보다 향상된다.
• 희소성 덕분에 공존 그래프에서의 근사 min $s$-$t$ 컷 알고리즘이 더 빨라진다.
• 카디널리티 기반 하위모듈라르 함수의 합 최소화를 위한 효율적인 근사 알고리즘을 제공할 수 있다.
• 오목 함수의 조각별 선형 근사는 정확하고 확장 가능한 컷 근사가 가능하게 한다.