[논문 리뷰] Backward stochastic differential equations under super linear G-expectation and associated Hamilton-Jacobi-Bellman equations

Yuhong Xu|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초선형 G-기대하에 있어서 후행 확률적 미분 방정식(G-BSDEs)의 존재성과 유일성을 확립하며, 해밀턴-자코비-벨만(HJB) 방정식의 점성해에 대한 확률적 표현을 제공한다. 이는 블랙-숄즈-바렌블랏 방정식을 포함하여, 모델 불확실성 하에서의 해를 포함한다. 또한 상호로 비분리된 확률측도를 통해 G-BSDEs를 확률적 제어 문제와 연결함으로써, 불확실성 기반 모델에서 새로운 파인만-키프 유형의 연결 고리를 제공한다.

ABSTRACT

This paper first studies super linear G-expectation. Uniqueness and existence theorem for backward stochastic differential equations (BSDEs) under super linear expectation is established to provide probabilistic interpretation for the viscosity solution of a class of Hamilton-Jacobi-Bellman equations, including the well known Black-Scholes-Barrenblett equation, arising in the uncertainty volatility model in mathematical finance. We also show that BSDEs under super linear expectation could characterize a class of stochastic control problems. A direct connection between recursive super (sub) strategies with mutually singular probability measures and classical stochastic control problems is provided. By this result we give representation for solutions of Black-Scholes-Barrenblett equations and G-heat equations.

연구 동기 및 목표

• 모델 불확실성 하에서 후행 확률적 미분 방정식(G-BSDEs)을 초선형 G-기대하에 기반한 확률적 프레임워크를 개발하여 해밀턴-자코비-벨만(HJB) 방정식을 해결하는 것.
• 초선형 G-기대하와 상호로 비분리된 확률측도를 통한 확률적 제어 문제 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 블랙-숄즈-바렌블랏 방정식과 G-히트 방정식의 해에 대해 G-BSDEs를 이용한 새로운 파인만-키프 표현을 제공하는 것.
• 특히 이차변화의 준확실한 미분 가능성에 관해 초선형 기대하에서 G-브라운운동과 G-정규분포의 성질을 조사하는 것.
• 초선형 G-기대하가 비선형 기대와 불확실성 정량화 이해를 보완하는 도구로 기능함을 보여주는 것, 하향선형 G-기대하와의 상호보완성 강화

제안 방법

• 초선형 G-기대하를 위험 중립적 측도 집합에 대한 점별 최소값으로 정의한다: $\mathbb{E}_* [\cdot] = \inf_{P \in \mathcal{P}} \mathbb{E}_P [\cdot]$.
• 기울기, 분산, 이차변화 성분을 갖는 전방 확산과정 $X_t^{t,x}$ 를 기반으로 하는 후행 확률적 미분 방정식(G-BSDEs)을 정의한다.
• 용적 기반 수렴과 지배 수렴 정리 등을 활용하여 초선형 기대하 하에서 G-BSDE의 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 동적 프로그래밍 원리를 적용하여 G-BSDE를 확률적 제어 문제의 가치함수와 연결한다.
• 표현식 $\mathbb{E}_* [X] = \inf_P \mathbb{E}_P [X]$ 를 활용하여 초전략을 상호로 비분리된 측도 위에서의 최적 제어 문제로 해석한다.
• 보렐-칸텔리 보조정리를 활용하고 용적 수렴을 적용하여 초선형 G-기대하 하에서 기대값의 수렴성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초선형 G-기대하 하에서 후행 확률적 미분 방정식이 이차형 HJB 방정식의 클래스에 대해 확률적 해를 제공할 수 있는가?
• RQ2 초선형 G-기대하와 상호로 비분리된 확률측도를 갖는 확률적 제어 문제 간의 관계는 어떠한가?
• RQ3 초선형 기대하 맥락에서 G-브라운운동과 그 이차변화의 역할은 무엇인가?
• RQ4 용적 수렴이 아닌 준확실한 수렴일 경우 초선형 G-기대하 하에서 지배 수렴 정리가 성립하는가?
• RQ5 비지배적 비선형 기대하로 파인만-키프 공식을 확장할 수 있는가, 특히 블랙-숄즈-바렌블랏 방정식에 대해?

주요 결과

• 초선형 G-기대하 하에서 후행 확률적 미분 방정식(G-BSDEs)의 해의 존재성과 유일성이 입증되었으며, 이는 고전적 확률적 방법을 비선형 및 모델 불확실성 환경으로 확장한다.
• G-BSDE의 해는 불확실성 볼라티리티 모델 하에서 블랙-숄즈-바렌블랏 방정식을 포함한 일련의 해밀턴-자코비-벨만 방정식의 점성해를 제공한다.
• G-브라운운동의 이차변화 $\langle B \rangle_t$ 가 각 $t$ 에 대해 준확실하게 미분 가능함이 입증되었으며, 이는 불확실성 하에서의 확률적 미적분학에 핵심적인 성질이다.
• 초선형 G-기대하, 확률적 제어 문제의 가치함수, HJB 방정식의 해 사이에 직접적인 동치관계가 확립되었으며, 이는 새로운 확률적 해석을 드러낸다.
• 반례를 통해 준확실한 수렴이 $\mathbb{E}^*$ 하에서 기대값의 수렴을 보장하지 않으며, $\lim \mathbb{E}^*[X_\delta^t] \neq \mathbb{E}^*[\lim X_\delta^t]$ 임을 보여, 이 맥락에서 지배 수렴 정리가 성립하지 않음을 입증한다.
• 논문은 $\mathbb{E}^*$-브라운운동이 $\mathbb{E}_*$ 하에서 표준 브라운운동임을 증명하였으며, $\mathbb{E}_*$ 는 자신으로부터 지배되지 않지만, 관련된 하향선형 기대하 $\mathbb{E}^* = -\mathbb{E}_*(-\cdot)$ 에 의해 지배됨을 보였다.