[논문 리뷰] Big principal series, p-adic families and L-invariants

Lennart Gehrmann, Giovanni Rosso|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 26.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 43인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고계수 단순군에서 코homological 커피드럴 자동형 상형 표현의 자동형 L-불변량에 대해 p-진 가족 기반의 공식을 수립하며, 고전적 Colmez–Greenberg–Stevens 공식을 일반화한다. 국소 해석적 주요 시리즈의 Koszul 해상과 Hecke 고유값의 변형 이론을 이용하여, 자동형 L-불변량이 Fontaine–Mazur L-불변량과 같고 부호 문자에 대해 독립적임을 증명함으로써 Spieß의 추측을 확인하고 Jacquet–Langlands 전이에 대한 불변성도 확장한다.

ABSTRACT

In earlier work, the first named author generalized the construction of Darmon-style $\mathcal{L}$-invariants to cuspidal automorphic representations of semisimple groups of higher rank, which are cohomological with respect to the trivial coefficient system and Steinberg at a fixed prime. In this paper, assuming that the Archimedean component of the group has discrete series we show that these automorphic $\mathcal{L}$-invariants can be computed in terms of derivatives of Hecke-eigenvalues in $p$-adic families. Our proof is novel even in the case of modular forms, which was established by Bertolini, Darmon, and Iovita. The main new technical ingredient is the Koszul resolution of locally analytic principal series representations by Kohlhaase and Schraen. As an application of our results we settle a conjecture of Spieß: we show that automorphic $\mathcal{L}$-invariants of Hilbert modular forms of parallel weight $2$ are independent of the sign character used to define them. Moreover, we show that they are invariant under Jacquet-Langlands transfer and, in fact, equal to the Fontaine-Mazur $\mathcal{L}$-invariant of the associated Galois representation. Under mild assumptions, we also prove the equality of automorphic and Fontaine-Mazur $\mathcal{L}$-invariants for representations of definite unitary groups of arbitrary rank. Finally, we study the case of Bianchi modular forms to show how our methods, given precise results on eigenvarieties, can also work in the absence of discrete series representations.

연구 동기 및 목표

• 모듈러 형식에서 L-불변량의 Bertolini–Darmon–Iovita 공식을 고계수 자동형 표현으로 일반화하기.
• p-진 가족에서 Hecke 고유값의 도함수와 자동형 L-불변량 간의 개념적이고 코homological한 연결 고리 수립하기.
• 평행 무게 2인 힐베르트 모듈러 형식의 L-불변량이 부호 문자에 대해 독립적이라는 Spieß의 추측 해결하기.
• 확정적 유니타리 군에 대해 자동형 L-불변량이 Jacquet–Langlands 전이에 대해 불변이고 Fontaine–Mazur L-불변량과 일치함을 증명하기.
• 이unge비에티의 가정 하에 이산 시리즈가 없더라도 Bianchi 모듈러 형식으로의 프레임워크 확장하기.

제안 방법

• Kohlhaase와 Schraen의 국소 해석적 주요 시리즈의 Koszul 해상으로 일반화된 슈타인버그 표현을 코homological 계산에서 대체한다.
• p-진 자동형 형식의 가족에 대한 변형 이론을 적용하여 Hecke 고유값의 도함수와 L-불변량을 연결한다.
• 기저점을 통과하는 고유변화 곡선을 구성하여 서로 다른 코homological 차수 간의 코homology 모듈 간 비교를 수행한다.
• Nakayama의 보조정리와 모듈 이론적 추론을 이용하여 균일화자에 의한 곱셈에 의한 코homology 모듈의 자유성과 동형성을 보인다.
• 비자명한 경우와 분할된 경우에 자동형 Colmez–Greenberg–Stevens 공식을 적용하여 p 위의 소수들 간의 L-불변량을 비교한다.
• 기저 변경과 p-진 Langlands 함수론을 활용하여 Bianchi 형식의 L-불변량과 모듈러 형식의 L-불변량을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고계수 군에 대한 자동형 L-불변량은 p-진 가족에서 Hecke 고유값의 도함수로 계산될 수 있는가?
• RQ2 Spieß의 추측처럼, 평행 무게 2인 힐베르트 모듈러 형식의 자동형 L-불변량은 무게 무게에 대해 부호 문자에 대해 독립적인가?
• RQ3 자동형 L-불변량은 Jacquet–Langlands 전이에 대해 불변이며, Fontaine–Mazur L-불변량과 일치하는가?
• RQ4 이산 시리즈 표현이 없을 경우, 방법을 Bianchi 모듈러 형식으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 이산 시리즈가 없을 경우, 코homological 차수 간의 L-불변량 동치성은 유지되는가?

주요 결과

• 평행 무게 2인 힐베르트 모듈러 형식의 자동형 L-불변량은 부호 문자에 대해 독립적이며, Spieß의 추측을 확인한다.
• 일부 조건 하에 임의의 계수의 확정적 유니타리 군에 대해 자동형 L-불변량은 관련 갈루아 표현의 Fontaine–Mazur L-불변량과 일치한다.
• 모듈러 형식을 허수 이차 수체로의 기저 변경한 경우, p 위의 두 소수에서의 L-불변량은 서로 같으며 원래 모듈러 형식의 L-불변량과 일치한다.
• p가 기저 체에서 비자명하게 분할될 경우, L-불변량 공간과 Q_p^*의 연속적 문자의 교차는 원래 모듈러 형식의 L-불변량과 일치한다.
• Bianchi 모듈러 형식의 경우, 고유변화 곡선이 기저점에서 매끄럽고 접선 공간이 일반적인 경우, 코homological 차수 간의 L-불변량이 일치한다.
• 고계수 설정에서 자동형 Colmez–Greenberg–Stevens 공식이 수립되었으며, p에서 슈타인버그 성분을 가진 코homological 표현으로 고전 공식을 일반화한다.