[논문 리뷰] Quantum codes on a lattice with boundary

Sergey Bravyi, Alexei Kitaev|ArXiv.org|1998. 11. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 6인용 수 412

한 줄 요약

이 논문은 경계가 있는 2차원 격자에서 큐비트를 격자의 변에 배치하고 안정자 생성자가 정점과 면에서 작용하는 새로운 종류의 위상적 양자 코드를 제안한다. 논리 큐비트는 격자 위의 사이클의 상대 호모로지 클래스를 통해 인코딩되며, 같은 유형의 경계를 연결하는 가장 짧은 경로에 의해 코드 거리가 결정되어, 개방된 표면에서 위상적 보호를 통한 고장 내성 양자 계산이 가능하다.

ABSTRACT

A new type of local-check additive quantum code is presented. Qubits are associated with edges of a 2-dimensional lattice whereas the stabilizer operators correspond to the faces and the vertices. The boundary of the lattice consists of alternating pieces with two different types of boundary conditions. Logical operators are described in terms of relative homology groups.

연구 동기 및 목표

• 토릭 코드와 같은 위상적 양자 코드를 경계가 있는 격자로 확장하면서도 위상적 보호를 유지하는 것.
• 아이소닉 진동을 다르게 안정화시키는 두 가지 구분된 경계 유형—x-경계와 z-경계—를 정의하여 위상적 질서가 강건하게 유지되도록 하는 것.
• 논리 연산자와 상대 호모로지 군 H₁(Q,V,Z₂) 및 H₁(Q,V*,Z₂) 사이의 대응관계를 수립하여 개방된 표면에서 논리 큐비트를 인코딩할 수 있도록 하는 것.
• 같은 유형의 경계를 연결하는 경로의 최소 길이로 코드 거리를 특성화하여 局부 오류에 대한 고장 내성 보장을 보장하는 것.
• 위상적 양자 질서와 아이소닉 통계의 관점에서 두 경계 유형의 물리적 기원을 설명하고, 강성 조건 하에 오직 두 가지 안정된 경계 유형만 존재할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 2차원 정사각형 격자의 변에 큐비트를 할당하고, x-경계와 z-경계를 번갈아 배치하며, 안정자 생성자 중 일부가 없는 조건으로 경계 조건을 정의한다.
• 정점 연산자 Aₛ와 면 연산자 Bₚ를 각각 별의 변과 면의 둘레를 따라 σˣ 및 σᶻ의 곱으로 정의하며, 경계 근처의 완전하지 않은 면에 대해서는 정의를 수정한다.
• 논리 연산자를 분류하기 위해 상대 호모로지 군 H₁(Q,V,Z₂)과 H₁(Q,V*,Z₂)를 사용하며, V와 V*는 각각 x-경계와 z-경계 성분을 나타낸다.
• 논리 연산자 Y([c],[c*]) = ∏ᵢ∈c σᶻᵢ ∏ⱼ∈c* σˣⱼ를 구성하며, c와 c*는 각각 원래 격자와 이중 격자의 1-사이클이다.
• 논리 연산자가 모든 안정자와 교환되며, 상대 호모로지 클래스가 비자명할 때에만 비자명하게 작용하도록 보장하여 논리 정보를 유지한다.
• 코드 거리 d = min{min_{[c]≠0} |supp(c)|, min_{[c*]≠0} |supp(c*)|}를 유도하며, 이는 같은 유형의 경계를 연결하는 가장 짧은 경로에 해당한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 폐면(예: 토러스)에서의 위상적 양자 코드를 경계가 있는 표면으로 일반화할 수 있는가? 이 경우에도 위상적 오류 보정이 유지되는가?
• RQ2 위상적 양자 코드에서 허용된 경계 조건의 유형을 결정하는 물리적 및 위상적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ3 이러한 코드에서 논리 큐비트는 어떻게 발생하는가? 그리고 이를 분류하는 정확한 수학적 구조(예: 호모로지 군)는 무엇인가?
• RQ4 경계가 있는 코드에서 코드 거리는 무엇에 의해 결정되며, 오류 보정 능력과의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ5 위상적 양자 질서를 가진 시스템에서 왜 오직 두 가지 유형의 강성 있는 경계—x-경계와 z-경계—만 존재 가능한가?

주요 결과

• 코드에 인코딩된 논리 큐비트의 수는 dim H₁(Q,V,Z₂) = dim H₁(Q,V*,Z₂)로 주어지며, k개의 x-경계와 k개의 z-경계를 가진 디스크의 경우 k−1이다.
• n×m 격자에 대해 코드 거리 d는 min{n+1, m+1}이며, 최대 ⌊(d−1)/2⌋개의 局부 오류를 보호한다.
• 논리 연산자는 원래 격자와 이중 격자의 사이클 c와 c*를 따라 패러티 연산자의 곱으로 구성되며, 그 작용은 상대 호모로지 클래스에 의해 결정된다.
• 두 경계 유형(x 및 z)은 각각 전기 및 자석 아이소닉이 경계에서 응집할 수 있는 능력과 대응하며, 강성 조건 하에 오직 두 가지 안정된 경계 유형만 존재한다.
• 이 구성은 정사각형 격자 외에도 표면의 경계가 x-형과 z-형 성분으로 분할된 임의의 상호 이중 격자로 일반화될 수 있다.
• 경계 근처의 위상적 질서의 안정성은 아이소닉 통계에 의해 설명된다: 오직 보존 아이소닉(전기 또는 자석 전하)만 경계에서 응집 가능하며, 페르미온성 복합체는 불가능하다.