[논문 리뷰] Boundary Output Feedback Stabilization of Reaction-Diffusion PDEs with Delayed Boundary Measurement

Hugo Lhachemi, Christophe Prieur|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 25.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의로 긴 지연이 있는 경계 측정값을 가진 1차원 반응-확산 PDE에 대해 경계 출력 피드백 제어 전략을 제안한다. 이 전략은 지연된 시스템 모드를 추정하기 위한 유한차원 관측기와 지연을 보상하기 위한 예측기의 조합을 통해, 관측기 순서가 충분히 클 경우 주어진 지연에 대해 어떤 경우에도 $H^1$ 노름에서 지수적 안정성을 보장한다.

ABSTRACT

This paper addresses the boundary output feedback stabilization of general 1-D reaction-diffusion PDEs with delayed boundary measurement. The output takes the form of a either Dirichlet or Neumann trace. The output delay can be arbitrarily large. The control strategy is composed of a finite-dimensional observer that is used to observe a delayed version of the first modes of the PDE and a predictor component which is employed to obtain the control input to be applied at current time. For any given value of the output delay, we assess the stability of the resulting closed-loop system provided the order of the observer is selected large enough. Taking advantage of this result, we discuss the extension of the control strategy to the case of simultaneous input and output delays.

연구 동기 및 목표

• 경계 측정값이 임의로 긴 시간 동안 지연될 경우 1차원 반응-확산 PDE를 안정화하는 데 도전하는 문제를 다루기.
• 분포 매개변수 시스템의 피드백 제어에서 출력 지연이 유도하는 불안정성 위험을 완화하기.
• 지연된 측정값에도 불구하고 $H^1$ 노름에서 지수적 안정성을 보장하는 제어 전략을 개발하기.
• 기존의 입력 지연 보상 기법과 결합하여 동시에 입력과 출력 지연을 다룰 수 있는 프레임워크로 확장하기.
• 제어기 및 관측기 파rameter를 수치적으로 검증 가능한 LMI 기반 설계 절차를 제공하기.

제안 방법

• 지연된 경계 측정값을 기반으로 PDE의 첫 $N_0$ 모드를 추정하기 위한 유한차원 관측기를 설계한다.
• 지연된 관측기 출력에서 현재 제어 입력을 재구성하기 위한 예측기 구성 요소를 사용하여 측정 지연을 보상한다.
• 시간 도함수를 요구하지 않도록 스펙트럼 축소 및 스케일링 기반 방법을 적용하여 딜레르트/뉴먼 경계 조건을 직접 처리한다.
• 폐쇄형 루프 안정성 문제를 라파노프-크라소프스키 함수를 사용하여 설정하여 지수적 안정성을 위한 충분한 LMI 조건을 유도한다.
• 지연된 측정값을 관측기 동역학에 통합하기 위해 상태 추정치 $\tilde{X}(t) = \mathrm{col}(X(t), \zeta(t - h_o))$를 구성한다.
• 관측기 순서 $N_0$를 충분히 크게 선택하여 LMI 제약 조건의 타당성을 확보함으로써, 주어진 출력 지연 $h_o > 0$에 대해 안정성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의로 긴 출력 지연이 있는 1차원 반응-확산 PDE에 대해 경계 출력 피드백을 통해 지수적 안정성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 유한차원 관측기를 어떻게 설계하여 유도 피드백이 필요 없이 지연된 경계 측정값에서 시스템 모드를 추정할 수 있는가?
• RQ3 어떤 제어 아키텍처가 출력 지연을 보상하면서도 $H^1$ 노름에서 안정성을 유지할 수 있는가?
• RQ4 제안된 관측기-예측기 프레임워크는 동시에 입력과 출력 지연을 다룰 수 있도록 확장될 수 있는가?
• RQ5 임의의 출력 지연에 대해 LMI 기반 안정성 제약 조건이 타당해지는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 주어진 출력 지연 $h_o > 0$에 대해 관측기 순서 $N_0$가 충분히 크면 폐쇄형 루프 시스템이 $H^1$ 노름에서 지수적 안정성을 확보한다.
• 정리 6.1에서 유도된 LMI 조건은 $N$을 충분히 크게 선택할 경우 항상 타당하며, 이는 안정화 제어기를 존재함을 보장한다.
• 제안된 제어 전략은 PDE 상태 및 관측기 상태의 $H^1$-노름이 비율 $2\delta > 0$로 지수적으로 감소함을 달성한다. 여기서 $\delta$는 PDE의 스펙트럼 갭과 관련된다.
• 이 방법은 딜레르트, 뉴먼, 또는 루빈 경계 조건과 측정값을 가진 일반적인 1차원 반응-확산 PDE에 적용 가능하다.
• Lhachemi & Prieur (2021)의 입력 지연 보상 방법과 결합함으로써, 동시에 입력과 출력 지연을 다룰 수 있도록 프레임워크를 확장할 수 있다.
• PDE 계수와 초기 조건에 대한 미약한 정규성 가정과 $H^2(0,1)$ 내의 초기 조건, 일치하는 경계 제약 조건이 만족될 경우 안정성 결과가 유지된다.