[논문 리뷰] Bounds on MAXCUT QAOA performance for p>1

Jonathan Wurtz, Peter J. Love|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 21.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 3-정규 그래프에서 QAOA의 최악의 경우 성능 한계를 향상시켰으며, p=2일 때 하한을 0.7559로 보여주고 p=3일 때 최소 0.7924의 한계를 추측한다. 인식 불가능성 논증을 통해 최악의 경우 근사 비율에 대한 상한을 도출하여, 특정 그래프 클래스에서 p<6일 때 양자 우월성이 없음을 시사한다.

ABSTRACT

We obtain worst case performance guarantees for $p=2$ and $3$ QAOA for MAXCUT on uniform 3-regular graphs. Previous work by Farhi et al obtained a lower bound on the approximation ratio of $0.692$ for $p=1$. We find a lower bound of $0.7559$ for $p=2$, where worst case graphs are those with no cycles $\leq 5$. This bound holds for any 3 regular graph evaluated at particular fixed parameters. We conjecture a hierarchy for all $p$, where worst case graphs have with no cycles $\leq 2p+1$. Under this conjecture, the approximation ratio is at least $0.7924$ for all 3 regular graphs and $p=3$. In addition, using a simple indistinguishability argument we find an upper bound on the worst case approximation ratio for all $p$, which indicates classes of graphs for which there can be no quantum advantage for at least $p<6$.

연구 동기 및 목표

• p>1에 대해 3-정규 그래프에서 QAOA의 엄밀한 최악의 경우 성능 보장을 수립하기 위해.
• QAOA 성능을 최소화하는 그래프 구조, 특히 짧은 사이클이 없는 그래프를 특정하기 위해.
• 일般적인 p에 대해 사이클 길이(≤2p+1) 기반의 최악의 경우 그래프 계층을 추측하기 위해.
• 최악의 경우 근사 비율에 대한 상한을 도출하여 p<6인 경우 어떤 그래프 클래스에서 양자 우월성이 거의 없음을 규명하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 p=2 및 p=3에 대해 고정된 최적 매개변수를 사용하여 3-정규 그래프에서 QAOA 성능을 분석한다.
• 최악의 경우 그래프를 p=2일 때 길이 ≤5인 사이클이 없는 그래프로 식별하고, 일반적인 p에 대해 길이 ≤2p+1인 사이클이 없는 것으로 추측한다.
• 모든 p에 대해 최악의 경우 근사 비율에 대한 상한을 유도하기 위해 단순한 인식 불가능성 논증을 적용한다.
• 3-정규 그래프의 대칭성과 국소적 구조를 활용하여 QAOA 앤사즈의 기대 에너지를 제한한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p=2일 때 3-정규 그래프에서 QAOA가 MAXCUT에 대해 달성할 수 있는 최악의 경우 근사 비율은 무엇인가?
• RQ2 QAOA 성능의 최악의 경우 그래프는 p의 값에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 사이클 길이 제약 조건 기반으로 일반적인 최악의 경우 그래프의 계층을 추측할 수 있는가?
• RQ4 최악의 경우 근사 비율에 대한 상한을 어디까지 설정할 수 있으며, 이는 작은 p에서의 양자 우월성을 배제하는 데 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 p<6일 때 MAXCUT에서 QAOA를 사용할 경우 어떤 그래프 클래스에서 양자 우월성이 없을까?

주요 결과

• p=2일 때, 3-정규 그래프에서 QAOA의 최악의 경우 근사 비율은 길이 ≤5인 사이클이 없는 그래프에서 0.7559 이상으로 하한이 보장된다.
• p=3일 때, 최악의 경우 그래프에 길이 ≤7인 사이클이 없다는 가정 하에 근사 비율은 최소 0.7924 이상이다.
• 저자들은 일반적인 계층을 제안하며, p에 대한 최악의 경우 그래프는 길이 ≤2p+1인 사이클이 없음을 가정한다.
• 인식 불가능성 논증을 통해 최악의 경우 근사 비율에 대한 상한을 도출하였으며, 이는 특정 그래프 클래스에서 p<6일 때 양자 우월성이 없음을 시사한다.
• 결과는 QAOA 성능이 국소적 그래프 구조, 특히 짧은 사이클의 부재에 가장 민감함을 시사한다.