[논문 리뷰] Computation of Optimal Control Problems with Terminal Constraint via Modified Evolution Partial Differential Equation

Sheng Zhang, Kaifeng He외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 29.

Spacecraft Dynamics and Control참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 종단 제약 조건을 가진 최적 제어 문제를 해결하기 위해 유한 시간 내에 타당해지는 비타당한 해를 허용하는 수정된 진화 편미분방정식(MEPDE)을 제안한다. 일阶 안정성 동역학과 리아푸노프 함수를 통합함으로써, 비타당하지 않은 종단 부등식 제약 조건이 효율적으로 타당 영역으로 진입하도록 보장하며, 이는 유한 차원의 상미분방정식(ODE) 해법이 반분할 이산화를 통해 해를 계산할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

The Variation Evolving Method (VEM), which seeks the optimal solutions with the variation evolution principle, is further developed to be more flexible in solving the Optimal Control Problems (OCPs) with terminal constraint. With the first-order stable dynamics to eliminate the infeasibilities, the Modified Evolution Partial Differential Equation (MEPDE) that is valid in the infeasible solution domain is proposed, and a Lyapunov functional is constructed to theoretically ensure its validity. In particular, it is proved that even with the infinite-time convergence dynamics, the violated terminal inequality constraints, which are inactive for the optimal solution, will enter the feasible domain in finite time. Through transforming the MEPDE to the finite-dimensional Initial-value Problem (IVP) with the semi-discrete method, the OCPs may be solved with common Ordinary Differential Equation (ODE) numerical integration methods. Illustrative examples are presented to show the effectiveness of the proposed method.

연구 동기 및 목표

• 초기 해가 비타당하지 않을 경우 종단 제약 조건이 있는 최적 제어 문제(OCPs)를 해결하는 데 도전하는 것.
• 기존의 변화 진동 방법(VEM)이 최적 해에서 비활성화된 종단 부등식 제약 조건을 다루는 데에 한계를 가진다는 것을 극복하는 것.
• 사전에 타당성이 확보되어 있지 않은 상태에서도 작동하는 수치적으로 안정적이고 유연한 프레임워크를 개발하는 것.
• 무한 시간 동역학 조건에서도 종단 제약 조건에 대한 이론적 수렴 보장을 확보하는 것.
• 반분할 이산화를 통해 표준 ODE 해법을 사용하여 실용적인 계산을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 비타당하지 않은 영역에서 작동하는 수정된 진화 편미분방정식(MEPDE)을 제안하여 타당성으로의 진화를 허용하는 것.
• 비타당한 해로 향하는 데 도움이 되는 일阶 안정성 동역학을 도입하여, 특히 종단 제약 조건에 대해 유용하게 작용하는 것.
• MEPDE 시스템의 안정성과 수렴성을 수학적으로 증명하기 위해 리아푸노프 함수를 구성하는 것.
• 무한 시간 수렴 동역학을 사용하더라도 비활성 종단 부등식 제약 조건이 유한 시간 내에 타당 영역으로 진입할 수 있음을 보여주는 것.
• MEPDE를 반분할 이산화하여 유한 차원의 초기값 문제(IVP)로 변환하여 표준 ODE 적분 방법으로 해를 구할 수 있도록 하는 것.
• 일반적인 ODE 해법(예: 룬게-쿠타)을 활용하여 유도된 IVP의 수치적 해를 계산함으로써 계산의 실현 가능성을 확보하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종단 제약 조건이 있는 최적 제어 문제에서 비타당한 초깃값을 처리할 수 있는 편미분방정식 프레임워크를 설계할 수 있는가?
• RQ2 최적 해에서 비활성화된 종단 부등식 제약 조건을 어떻게 유한 시간 내에 타당성으로 유도할 수 있는가?
• RQ3 무한 시간 동역학 조건에서도 MEPDE 시스템의 수렴성을 보장하는 리아푸노프 기반 안정성 조건은 무엇인가?
• RQ4 MEPDE는 얼마나 잘 반분할 이산화될 수 있으며, 이를 통해 표준 ODE 해법을 사용한 최적 제어 계산이 가능해지는가?
• RQ5 제약 조건이 있는 OCPs에 대해 기존의 VEM 기반 접근법과 비교했을 때, 제안된 방법의 성능 및 강건성은 어떠한가?

주요 결과

• MEPDE는 무한 시간 수렴 동역학을 사용하더라도 위반된 종단 부등식 제약 조건이 유한 시간 내에 타당 영역으로 진입함을 보장한다.
• 리아푸노프 함수의 구성은 수정된 진동 시스템의 안정성과 수렴성에 대한 이론적 보장을 제공한다.
• MEPDE의 반분할 이산화로 인해 문제는 표준 IVP로 변환되며, 널리 사용 가능한 ODE 수치 적분 방법을 통해 해를 구할 수 있다.
• 예시를 통해 초기에 비타당하지 않은 종단 제약 조건을 효과적으로 처리할 수 있음을 보여준다.
• 초기 타당성이 필요 없이 비타당한 영역에서 직접 작동하므로, 이 방법은 탄력성과 강건성을 유지한다.
• 표준 수치 해법과의 호환성과 이론적 수렴 보장 덕분에 실용적 구현 가능성이 높다.