[논문 리뷰] Conserved Charges of Minimal Massive Gravity Coupled to Scalar Field

M. R. Setare, H. Adami|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 25.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비틀림이 비영인 스칼라 장과의 비최소 결합을 포함하는 최소 질량이 있는 중력 이론을 확장하여, 준국소적 보존량에 대한 일반화된 비완전 상태 ADT 형식을 유도한다. 직접 통합과 바이라소르 대수 방법을 통해 BTZ 블랙홀의 에너지, 운동량, 엔트로피를 계산하였으며, 두 방법 간의 정확한 일치를 확인하여 열역학 제1법칙과 카르디 공식과의 일관성을 확인하였다.

ABSTRACT

Recently, the theory of Topologically massive gravity non-minimally coupled to a scalar field has been proposed which comes from Lorentz-Chern-Simons theory \cite{1}. That theory is a torsion free one. We extend that theory by adding an extra term which makes torsion to be non-zero. The extended theory can be regarded as an extension of Minimal massive gravity such that it is non-minimally coupled to a scalar field. We obtain equations of motion of extended theory such that they are expressed in terms of usual torsion free spin-connection. We show that BTZ spacetime is a solution of this theory when scalar field is constant. We define quasi-local conserved charge by the concept of generalized off-shell ADT current which both are conserved for any asymptotically Killing vector field as well as a Killing vector field which is admitted by spacetime everywhere. Also we find general formula for entropy of stationary black hole solution in the context of considered theory. We apply the obtained formulas on BTZ black hole solution, to calculate energy, angular momentum and entropy of this soultion. We obtain the central extension term, the central charges and the eigenvalues of the Virasoro algebra generators for the BTZ black hole solution. We calculate energy and angular momentum of BTZ black hole using the eigenvalues of the Virasoro algebra generators. Also we calculate the entropy of BTZ black hole by using the Cardy formula. We find that obtained results using two different ways are exactly matched as we expected.

연구 동기 및 목표

• 논문 [27]의 비틀림이 없는 라그랑지안에 새로운 항을 추가하여 비영인 비틀림을 포함하는 최소 질량이 있는 중력 이론을 일반화한다.
• 1차 형식에서의 보존량에 대한 일반화된 비완전 상태 ADT 전류 및 전하 형식을 유도한다.
• 확장된 이론에서 BTZ 블랙홀 해의 에너지, 운동량, 엔트로피를 계산한다.
• ADT 형식에서 유도된 결과와 바이라소르 대수 접근법을 이용한 카르디 공식을 비교하여 일치 여부를 검증한다.
• 유도된 보존량이 이론적 블랙홀 열역학의 제1법칙을 만족하는지 확인한다.

제안 방법

• 논문 [27]의 비틀림이 없는 라그랑지안에 비틀림을 허용하는 새로운 항을 도입하여, 비최소 결합된 스칼라 장이 있는 최소 질량이 있는 중력 이론을 구성한다.
• 비틀림이 없는 스핀 접속을 기반으로 운동 방정식을 유도하고, 특정 매개변수 조건 하에서 일정한 스칼라 장을 가진 BTZ 시공간이 그 해임을 보여준다.
• 일반화된 비완전 상태 ADT 전류를 정의하고, Poincaré 보조정리를 사용하여 점근적으로 카일링 벡터 장에 대해 준국소적 보존 전하를 구성한다.
• 정적 해에 대해 노이터 전하 방법을 활용하여 블랙홀 엔트로피의 일반 공식을 수립하고, 비공변 이론으로까지 타치카와의 접근을 확장한다.
• 이 형식을 BTZ 블랙홀에 적용하여 보존 전하, 중심 전하, 바이라소르 생성자 고유값을 계산한다.
• ADT 전하 계산 결과와 바이라소르 대수 및 카르디 공식을 통한 결과를 비교하여 정확한 일치를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비최소 결합된 스칼라 장과 비영인 비틀림을 포함함으로써 최소 질량이 있는 중력 이론의 구조는 어떻게 변화하는가?
• RQ2 Chern-Simons 항과 스칼라 장이 포함된 1차 형식 중력에서 보존 전하를 계산하기 위해 일반화된 비완전 상태 ADT 형식을 구성할 수 있는가?
• RQ3 ADT 방법으로 계산한 BTZ 블랙홀의 에너지, 운동량, 엔트로피가 바이라소르 대수와 카르디 공식을 통해 유도된 결과와 일치하는가?
• RQ4 이 확장된 이론에서 BTZ 블랙홀의 중심 전하와 바이라소르 생성자의 고유값은 무엇인가?
• RQ5 이 모델에서 유도된 보존량이 블랙홀 열역학의 제1법칙을 만족하는가?

주요 결과

• 매개변수 조건 (34)–(36)를 만족할 경우 일정한 스칼라 장을 가진 BTZ 시공간은 확장된 이론의 해이다.
• 일반화된 비완전 상태 ADT 전류는 점근적으로 카일링 및 전역적으로 카일링 벡터 장에 대해 보존되며, 일관된 전하 정의를 가능하게 한다.
• 정적 블랙홀의 엔트로피는 일반 공식 (75)로 주어지며, 비공변 중력 이론에서 노이터 전하 방법을 통해 유도되었다.
• BTZ 블랙홀의 에너지와 운동량은 E = (1/8G)[(φ₀ - αβ/μ)(r₊² + r₋²)/l² - 2r₊r₋/(μl³)] 및 j = (1/8G)[(φ₀ - αβ/μ)(2r₊r₋)/l - (r₊² + r₋²)/(μl²)]로 계산되었으며, 제1법칙과 일치한다.
• 중심 전하는 c± = (3l/2G)(φ₀ ± 1/(μl) - αβ/μ)이며, 바이라소르 생성자의 고유값은 l±₀ = (l/16G)(φ₀ ± 1/(μl) - αβ/μ)(r₊ ∓ r₋)²/l²이다.
• 카르디 공식을 통해 계산한 엔트로피 S = (π/2G)[(φ₀ - αβ/μ)r₊ - r₋/μ]는 ADT 방법과 일반 엔트로피 공식의 결과와 정확히 일치한다.