[논문 리뷰] Continuous and coherent actions on wrapped Fukaya categories

Yong‐Geun Oh, Hiro TANAKA|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 47인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고유한 국소화와 계속성 사상들을 이용하여 리우빌 세그먼트의 래핑된 후카야 카테고리 위에 리우빌 자기동형사상군의 연속적이고 일관된 $A_\infty$-함수적 작용을 수립한다. 이는 테일먼(2014 ICM)의 추측을 리우빌 및 단조 설정에서 증명하며, 래핑된 후카야 카테고리와 국소 시스템 사이의 아부자이드 동치가 제로 섹션 위의 미분동형사상 작용과 후카야 카테고리 위의 자기동형사상 작용을 상호 연결함으로써, 스트링 토폴로지 대수로 향하는 비자명한 유리수 호모토피 사상이 유도됨을 보여준다.

ABSTRACT

We establish the continuous functoriality of wrapped Fukaya categories with respect to Liouville automorphisms, yielding a way to probe the homotopy type of the automorphism group of a Liouville sector. These methods prove Liouville and monotone cases of a conjecture of Teleman from the 2014 ICM. In the case of a cotangent bundle, we show that the Abouzaid equivalence between the wrapped category and the infinity-category of local systems intertwines our action with the action of diffeomorphisms of the zero section. In particular, our methods yield a typically non-trivial map from the rational homotopy groups of Liouville automorphisms to the rational string topology algebra of the zero section.

연구 동기 및 목표

• 리우빌 자기동형사상의 위상군이 래핑된 후카야 카테고리 위에 연속적이고 일관된 $A_\infty$-함수적 작용을 수립하는 것.
• 테일먼(2014 ICM)이 리우빌 및 단조 설정에서 후카야 카테고리 위의 군 작용에 대해 제기한 추측을 해결하는 것.
• 래핑된 후카야 카테고리와 국소 시스템의 $\infty$-카테고리 사이의 아부자이드 동치가 제로 섹션 위의 미분동형사상 작용과 후카야 카테고리 위의 자기동형사상 작용을 상호 연결함을 보이는 것.
• 리우빌 자기동형사상군의 호모토피 군에서 제로 섹션의 스트링 토폴로지 대수로 향하는 비자명한 유리수 호모토피 사상의 구축.

제안 방법

• 리우빌 번들의 계속성 사상을 통해 연속적 작용을 수립하기 위해 고유한 국소화 기법을 두 번 사용한다.
• $A_\infty$-함수적 성질과 호모토피 일관성의 성질을 활용하여 리우빌 자기동형사상의 공간에서 래핑된 후카야 카테고리의 자기동형사상 공간으로의 연속적 사상 정의.
• $M = T^*Q$에 대해 $\tw\fs{W}(M)$과 $C_*\fs{P}(Q)$ 사이의 아부자이드 동치를 적용하여, 미분동형사상 작용과의 호환성을 보인다.
• 단체적 및 칸 완비화 기법을 사용하여 $C_*\fs{P}$ 위의 작용과 $\tw\fs{W}$ 위의 작용을 연결하며, $\infty$-카테고리 내 자연 동치를 활용한다.
• 미분동형사상군의 내부 구조와 국소 시스템의 $\infty$-카테고리 간 자연 동치를 구축하여, $C_*\fs{P}$ 가 $\text{Diff}(Q)$-작용을 분류함을 보인다.
• 국소화의 보편 성질과 dg-네르브를 활용하여, 아부자이드 동치를 통해 $C_*\fs{P}$ 위의 작용과 $\tw\fs{W}$ 위의 작용을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리우빌 자기동형사상의 군이 리우빌 세그먼트의 래핑된 후카야 카테고리 위에 연속적이고 일관되게 작용하는가?
• RQ2 래핑된 후카야 카테고리와 국소 시스템 카테고리 사이의 아부자이드 동치가 제로 섹션 위의 미분동형사상 작용과 후카야 카테고리 위의 자기동형사상 작용을 상호 연결하는가?
• RQ3 리우빌 자기동형사상군의 호모토피 군에서 제로 섹션의 스트링 토폴로지 대수로 향하는 비자명한 유리수 호모토피 사상을 구성할 수 있는가?
• RQ4 $\text{Aut}^o(M)$이 $\fs{W}(M)$ 위에 리우빌 번들의 구조와 계속성 사상과 호환되는 연속적 $A_\infty$-함수적 작용을 가지는가?
• RQ5 아부자이드 동치 하에서 제로 섹션 위의 미분동형사상 작용과 래핑된 후카야 카테고리 위의 작용은 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 리우빌 자기동형사상의 공간 $\text{Aut}^o(M)$은 $A_\infty$-준동형사상에 의하여 래핑된 후카야 카테고리 $\fs{W}(M)$ 위에 연속적이고 일관되게 작용하며, 이는 테일먼(2014 ICM)의 추측을 리우빌 및 단조 설정에서 수립한다.
• $M = T^*Q$에 대해 아부자이드 동치 $\tw\fs{W}(M) \to C_*\fs{P}(Q)$는 $\text{Diff}(Q)$가 $C_*\fs{P}(Q)$ 위에 작용하는 것과 제로 섹션 위의 미분동형사상 작용에 의해 유도된 후카야 카테고리 위의 작용을 상호 연결한다.
• 이 구축은 일반적으로 비자명한 사상으로서, 리우빌 세그먼트의 유리수 호모토피 군에서 제로 섹션의 유리수 스트링 토폴로지 대수로 향하는 사상을 제공하며, 리우빌 세그먼트의 새로운 불변량을 제공한다.
• $C_*\fs{P}(Q)$ 위의 작용은 자연 동치의 네르브와 칸 완비화를 통해 표준적인 $\text{Diff}(Q)$-작용과 동치임을 보였으며, 국소 시스템의 $\infty$-카테고리 위에서의 작용과 일치한다.
• 이 증명은 고유한 국소화의 두 번의 적용에 의존하며, 무거운 플로어 이론적 설정을 피하고 대신 국소화의 보편 성질을 활용하여 작용을 함의적으로 수립한다.
• quadratic 및 cofinal wrappings를 비교함으로써 $\tw\fs{W}(M) \to C_*\fs{P}(Q)$의 동치가 수립되며, 해밀토니안 작용과 작용 필터링을 사용하고, 양의 wrappings가 $HF_{\text{quad}}$ 를 보존함을 증명한다.