[논문 리뷰] Counting Motifs with Graph Sampling

Jason M. Klusowski, Yihong Wu|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 21.

Complex Network Analysis Techniques참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대규모 네트워크에서 서브그래프 및 이웃성 샘플링을 이용해 모티프 수(유도된 부분그래프)의 통계적 추정을 다룬다. 곱셈 오차로 모티프 수를 추정할 때 최적의 샘플링 비율을 확립하여, 이웃성 샘플링이 서브그래프 샘플링보다 뚜렷이 뛰어나며, 그 결과는 네트워크의 위상 구조에 관계없이 모티프 크기와 그래프 차수에만 의존함을 보여준다.

ABSTRACT

Applied researchers often construct a network from a random sample of nodes in order to infer properties of the parent network. Two of the most widely used sampling schemes are subgraph sampling, where we sample each vertex independently with probability $p$ and observe the subgraph induced by the sampled vertices, and neighborhood sampling, where we additionally observe the edges between the sampled vertices and their neighbors. In this paper, we study the problem of estimating the number of motifs as induced subgraphs under both models from a statistical perspective. We show that: for any connected $h$ on $k$ vertices, to estimate $s=\mathsf{s}(h,G)$, the number of copies of $h$ in the parent graph $G$ of maximum degree $d$, with a multiplicative error of $ε$, (a) For subgraph sampling, the optimal sampling ratio $p$ is $Θ_{k}(\max\{ (sε^2)^{-\frac{1}{k}}, \; \frac{d^{k-1}}{sε^{2}} \})$, achieved by Horvitz-Thompson type of estimators. (b) For neighborhood sampling, we propose a family of estimators, encompassing and outperforming the Horvitz-Thompson estimator and achieving the sampling ratio $O_{k}(\min\{ (\frac{d}{sε^2})^{\frac{1}{k-1}}, \; \sqrt{\frac{d^{k-2}}{sε^2}}\})$. This is shown to be optimal for all motifs with at most $4$ vertices and cliques of all sizes. The matching minimax lower bounds are established using certain algebraic properties of subgraph counts. These results quantify how much more informative neighborhood sampling is than subgraph sampling, as empirically verified by experiments on both synthetic and real-world data. We also address the issue of adaptation to the unknown maximum degree, and study specific problems for parent graphs with additional structures, e.g., trees or planar graphs.

연구 동기 및 목표

• 샘플된 부분그래프만 이용 가능한 상황에서 대규모 네트워크에서 모티프 수를 추정하는 통계적 과제를 해결하기 위해.
• 실제 샘플링 제약 조건 하에서 서브그래프 샘플링과 이웃성 샘플링의 효율성을 비교하기 위해.
• 모든 연결된 모티프에 대해 추정 오차를 최소화하는 최적의 샘플링 비율을 도출하기 위해.
• 두 샘플링 모델 하에서 보편적으로 최적인 추정기—특히 Horvitz-Thompson 유형의 추정기—를 개발하기 위해.
• 소규모 모티프와 클리크에 대해 최소 최대 하한을 설정하고, 제안된 추정기의 최적성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 모든 연결된 모티프에 대해 보편적으로 최적임이 입증된 Horvitz-Thompson 유형의 추정기를 서브그래프 샘플링에 제안한다.
• Horvitz-Thompson 추정기를 일반화하고 초월하는, 이웃성 샘플링을 위한 추정기의 가족을 도입한다.
• 서브그래프 수의 대수적 성질과 최소 최대 위험 분석을 이용해 최적의 샘플링 비율을 유도한다.
• 조합 및 대수적 기법을 통해 일치하는 최소 최대 하한을 설정하여 제안된 샘플링 전략의 최적성을 입증한다.
• 모어한 최대 차수 d를 알 수 없을 경우 데이터 기반 샘플링 비율 선택을 통한 적응 전략을 분석한다.
• 특수한 그래프 구조(예: 트리, 평면 그래프)를 고려하여 구조적 제약 조건 하에서 샘플링 효율을 개선한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서브그래프 샘플링을 통한 모티프 수 추정에서 곱셈 오차 ε를 갖는 최적의 샘플링 비율 p는 무엇인가?
• RQ2 모티프 수 추정에서 이웃성 샘플링은 서브그래프 샘플링에 비해 얼마나 더 효율적인가?
• RQ3 두 샘플링 모델 하에서 모든 연결된 모티프에 대해 보편적으로 최적의 추정기를 구성할 수 있는가?
• RQ4 서브그래프 샘플링과 이웃성 샘플링 하에서 모티프 수 추정의 최소 최대 하한은 무엇인가?
• RQ5 부모 그래프의 최대 차수 d가 알려지지 않았을 경우 샘플링 비율을 어떻게 적응적으로 설정할 수 있는가?

주요 결과

• 서브그래프 샘플링의 경우, 최적의 샘플링 비율은 Θk(max{(sε²)^(-1/k), d^{k-1}/(sε²)})이며, 이는 모티프의 위상에 관계없이 독립적이다.
• Horvitz-Thompson 추정기는 서브그래프 샘플링 하에서 모든 연결된 모티프에 대해 보편적으로 최적이다.
• 이웃성 샘플링의 경우, 제안된 추정기는 Ok(min{(d/(sε²))^{1/(k-1)}, √(d^{k-2}/(sε²))})의 샘플링 비율을 달성하며, 다시 한 번 모티프의 구조에 의존하지 않는다.
• 이웃성 샘플링 추정기는 최대 4개 정점 이하의 모든 모티프와 임의의 크기의 클리크에 대해 최적이다.
• 최소 최대 하한이 상한과 일치하여 제안된 샘플링 전략의 최적성이 입증된다.
• 합성 및 실세계 데이터에 대한 실험을 통해 이웃성 샘플링이 서브그래프 샘플링보다 훨씬 뛰어난 추정 정확도를 제공함을 확인한다.