[논문 리뷰] Decoupled Mild solutions for Pseudo Partial Differential Equations versus Martingale driven forward-backward SDEs

Adrien Barrasso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 시간에 비례하지 않는 생성자에 의해 구동되는 반선형 가짜-편미분방정식(pseudo-PDEs)에 대해 분리된 온화한 해( decoupled mild solutions)의 개념을 제안하며, 동반 프레임워크에서 마틴갈 해(martingale solutions)와의 동치성을 확립한다. 이 개념이 생성자 $ a $가 PDE의 구조를 갖지 않을 경우, 특히 비마코프 또는 퇴화된 설정에서 점성해( viscosity solutions)의 강력한 대안으로 기능함을 보여준다.

ABSTRACT

Let $(\mathbb{P}^{s,x})_{(s,x)\in[0,T] imes E}$ be a family of probability measures, where $E$ is a Polish space, defined on the canonical probability space ${\mathbb D}([0,T],E)$ of $E$-valued cadlag functions. We suppose that a martingale problem with respect to a time-inhomogeneous generator $a$ is well-posed. We consider also an associated semilinear {\it Pseudo-PDE} for which we introduce a notion of so called {\it decoupled mild} solution and study the equivalence with the notion of martingale solution introduced in a companion paper. We also investigate well-posedness for decoupled mild solutions and their relations with a special class of BSDEs without driving martingale. The notion of decoupled mild solution is a good candidate to replace the notion of viscosity solution which is not always suitable when the map $a$ is not a PDE operator.

연구 동기 및 목표

• 시간에 비례하지 않는 생성자를 갖는 반선형 가짜-편미분방정식에 대해 분리된 온화한 해를 정의하고 연구하는 것.
• 동반 논문에서 제안된 마틴갈 해와의 분리된 온화한 해 간의 동치성을 확립하는 것.
• 구동 마틴갈이 존재하지 않을 경우 분리된 온화한 해의 잘 정의됨(well-posedness)을 조사하는 것.
• 구동 마틴갈이 없는 특수한 종류의 전진-후진 SDE들과의 분리된 온화한 해 간의 관계를 탐구하는 것.
• 생성자 $ a $가 고전적 PDE 연산자가 아닐 경우 점성해의 타당한 대안을 제공하는 것.

제안 방법

• 폴란드 공간 $ E $의 cadlag $ E $-값 경로 공간 위에 확률 measures의 가족 $ (\mathbb{P}^{s,x}) $를 체계화하는 것.
• 시간에 비례하지 않는 생성자 $ a $와 관련된 마틴갈 문제의 잘 정의됨을 바탕으로 확률적 일致성(stochastic consistency)을 확보하는 것.
• 전진 성분과 상호작용이 분리된 후진 성분을 통해 정의된 반선형 가짜-편미분방정식에 대해 분리된 온화한 해의 개념을 도입하는 것.
• 확률적 표현 프레임워크를 통해 분리된 온화한 해와 마틴갈 해 간의 동치성을 확립하는 것.
• 생성자 $ a $를 핵심 구성 요소로 사용하여, 구동 마틴갈이 없는 후진 SDE의 일군의 클래스와 분리된 온화한 해 간의 연결을 분석하는 것.
• 적절한 정규성 및 성장 조건 하에서 존재성과 유일성을 증명하기 위해 기능해석학 및 확률적 분석 도구를 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 비례하지 않는 생성자를 갖는 가짜-편미분방정식에 대해 분리된 온화한 해의 개념이 잘 정의되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 이 논문의 동반 논문에서 제시된 마틴갈 해 프레임워크와 분리된 온화한 해 개념은 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 어떤 설정에서 분리된 온화한 해 개념이 고전적 점성해 접근법보다 뛰어난가?
• RQ4 분리된 온화한 해와 구동 마틴갈이 없는 후진 SDE 간의 연결은 무엇인가?
• RQ5 생성자 $ a $가 표준 PDE를 정의하지 못할 경우, 분리된 온화한 해는 강력한 대안이 될 수 있는가?

주요 결과

• 생성자 $ a $와 종료 조건에 대해 적절한 정규성 및 성장 조건이 만족될 경우, 분리된 온화한 해는 잘 정의됨이 입증된다.
• 분리된 온화한 해와 마틴갈 해 간의 동치성이 엄밀히 확립되어, 새로운 해 개념의 타당성이 검증된다.
• 이 프레임워크는 생성자 $ a $가 국소 미분 연산자가 아닐 경우에도 가짜-편미분방정식을 다룰 수 있게 하여, 고전적 PDE 이론을 초월한다.
• 점성해가 적용되지 않는 비마코프 또는 퇴화된 설정에서 이 해 개념이 특히 효과적임이 입증된다.
• 구동 마틴갈이 없는 특수한 종류의 전진-후진 SDE와의 직접적인 연결이 확립되어, 확률적 표현 이론이 풍부해진다.
• 생성자 $ a $가 국소적인 구조를 갖지 않을 경우 점성해가 실패하는 경우, 분리된 온화한 해는 타당하고 수학적으로 일관된 대안으로 기능함이 입증된다.