[논문 리뷰] Densest Subgraph in Dynamic Graph Streams

Andrew McGregor, David Tench외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 14.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 O(ε⁻²n polylog n) 공간과 polylog(n)의 업데이트 시간을 사용하여 (1+ε) 요소의 정밀도로 밀도가 높은 부분그래프를 근사하는 단일 패assing 동적 그래프 스트림 알고리즘을 제시한다. 짝짓기 독립적 해싱과 ℓ₀-샘플링 원리들을 활용하여 엣지를 효율적으로 샘플링하고, 최대 부분그래프 밀도를 고확률로 추정할 수 있는 희박한 대체 그래프를 계산한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of approximating the densest subgraph in the dynamic graph stream model. In this model of computation, the input graph is defined by an arbitrary sequence of edge insertions and deletions and the goal is to analyze properties of the resulting graph given memory that is sub-linear in the size of the stream. We present a single-pass algorithm that returns a $(1+ε)$ approximation of the maximum density with high probability; the algorithm uses $O(ε^{-2} n \polylog n)$ space, processes each stream update in $\polylog (n)$ time, and uses $\poly(n)$ post-processing time where $n$ is the number of nodes. The space used by our algorithm matches the lower bound of Bahmani et al.~(PVLDB 2012) up to a poly-logarithmic factor for constant $ε$. The best existing results for this problem were established recently by Bhattacharya et al.~(STOC 2015). They presented a $(2+ε)$ approximation algorithm using similar space and another algorithm that both processed each update and maintained a $(4+ε)$ approximation of the current maximum density in $\polylog (n)$ time per-update.

연구 동기 및 목표

• 하나의 메모리 선형 이하로 동적 그래프 스트림에서 밀도가 높은 부분그래프를 근사화하는 문제에 대응한다.
• 고확률로 최대 부분그래프 밀도에 대해 (1+ε)-근사치를 달성한다.
• 모든 엣지 삽입/삭제에 대해 폴리로그 시간의 업데이트 시간을 유지하면서 정보 이론적 하한선에 가까운 공간을 사용한다.
• 샘플된 그래프에서 정확한 밀도가 높은 부분그래프 알고리즘을 사용하여 최종 추정치를 효율적으로 계산할 수 있도록 한다.
• 이전 연구들이 유사한 자원 제약 조건에서 오직 (2+ε) 또는 (4+ε) 근사치만 달성한 점을 보완한다.

제안 방법

• 짝짓기 독립적 해싱 함수를 사용하여 엣지를 해시 값에 따라 그룹 E_{i,j}로 분할한다.
• ℓ₀-샘플링 원리들을 활용하여 각 E_{i,j}에서 중복 없이 무작위로 τ = 24c log n개의 엣지를 추출한다.
• Jowhari 등이 제안한 선형 스케치를 활용하여 이전에 샘플된 엣지 지표를 빼내어 고유한 엣지를 샘플링한다.
• |E_{i,j}|와 총 엣지 수 m의 카운터를 유지하여 샘플링 확률 p = (ε² m)/(n log n)을 계산한다.
• 샘플된 엣지들로부터 희박한 대체 그래프 G'를 구성하여, G' 내의 부분그래프 밀도가 원본 그래프의 밀도를 근사하도록 보장한다.
• 샘플된 그래프 G'에서 Charikar의 정확한 알고리즘을 사용해 최대 밀도를 계산한 후, 1/p로 스케일링하여 원본 그래프의 밀도가 높은 부분그래프 밀도를 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 폴리로그 시간 업데이트와 거의 최적의 공간을 사용하여 동적 그래프 스트림에서 (1+ε)-근사치를 유지할 수 있는가?
• RQ2 단일 스트림 패assing 동안 고확률로 (1+ε)-근사치를 달성할 수 있는가?
• RQ3 ℓ₀-샘플링은 어떻게 동적 환경에서 중복 없이 효율적으로 적용할 수 있는가?
• RQ4 이 문제에 대한 알려진 하한선에 비해 공간 사용량을 점점 더 날카롭게 조여들 수 있는가?
• RQ5 완전히 동적 그래프 스트림 모델에서 근사 정확도와 업데이트 효율성 사이의 상호 교환 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 알고리즘은 고확률로 (1+ε)-근사치를 달성하여 이전 연구의 (2+ε) 및 (4+ε) 한계를 초월한다.
• 공간 사용량은 O(ε⁻²n polylog n)이며, 상수 ε에 대해 Bahmani 등이 제시한 하한선과 폴리로그 인자 외에는 정확히 일치한다.
• 각 엣지 업데이트 처리 시간은 폴리로그(n)이며, 평균화된 효율성 대신 최악의 경우 효율성을 확보한다.
• 후처리 단계는 폴리(n) 시간 내에 수행되며, 샘플된 그래프의 희박성 덕분에 실행 가능하다.
• 다양한 해시 파artition와 뺄셈을 사용한 ℓ₀-샘플링의 조합은 폴리로그(n) 시간 내에 중복 없이 균일하게 샘플링을 가능하게 한다.
• 분석 결과, 고확률로 각 그룹 E_{i,j}당 샘플된 엣지 수가 τ = 24c log n 이하로 유지됨을 보여, 정확성과 효율성이 보장된다.