[논문 리뷰] Desperately seeking mathematical truth

Melvyn B. Nathanson|arXiv (Cornell University)|2008. 09. 08.

Philosophy and Theoretical SciencePsychology인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 수학적 진리의 확실성에 대한 인식을 비판하며, 와일스와 페르렐라의 정리와 같은 유명한 정리들이 완전히 검증된 선형적 증명을 갖추지 못하고 있음을 지적한다. 대신 이들의 수용은 수학 엘리트 간의 정치적 합의에 기반한다. 이는 수학 문헌이 논리적 엄밀성의 명분을 내세우고 있음에도 불구하고 근본적으로 신뢰할 수 없다는 것을 드러낸다.

ABSTRACT

This article discusses epistemological problems in the philosophy of mathematics and issues concerning the reliability of the mathematical literature.

연구 동기 및 목표

• 수학 정리가 철저하고 검증 가능한 증명을 통해 보편적이고 영원한 진리임을 믿는 일반적 신념을 도전한다.
• 수학 동료 검토의 제도적 결함과 선형적 검증이 아닌 전문가 의견에 의존하는 데서 비롯하는 문제를 드러낸다.
• 페르마의 마지막 정리와 포incare 추측의 정리와 같은 주요 증명들이 완전한 검증을 받지 못하고 공동체의 합의에 의존하고 있음을 설명한다.
• 완전하지 않은 증명, 검증되지 않은 참고문헌, 잘못된 심사 관행 등으로 인해 수학 문헌이 신뢰할 수 없다고 주장한다.
• 수학적 진리의 정치적 성격을 강조하며, '우두머리'들이 정의하는 정확성 기준이 논리적 완전성보다 더 중요하다고 주장한다.

제안 방법

• 와일스의 페르마의 마지막 정리 증명과 페르렐라의 포incare 추측 증명을 포함한 역사적 및 현대 수학 증명을 분석하여, 검증보다는 합의에 의존하고 있음을 보여준다.
• 유한 단순군의 분류를 완전한 증명이 보편적으로 수락되지 않는 사례로 삼아, 수십 년에 걸친 노력 끝에도 여전히 논란의 여지가 있는 정리로 분석한다.
• 수학 저널의 심사 과정을 검토하며, 대부분의 논문이 깊이 있게 검토되지 않고 심사위원들이 증명을 거의 스킴으로 읽기만 한다고 주장한다.
• 수학 증명의 이상적 개념인 공리에서의 논리적 추론과는 대조적으로, 완전하지 못하고 개략적이거나 직관적인 주장이 '참'으로 간주되는 현실을 대비한다.
• 미적분학과 유클리드의 원론의 역사적 발전을 통해 기초 수학 분야에도 논리적 빈도가 존재했고, 초기 출판 이후 오랜 시간이 지난 후에야 수정된 사례를 보여준다.
• 정리의 진리가 논리적 완전성보다는 소수의 전문가 집단의 사회적 검증에 의해 결정됨을 주장하며, 수학적 진리는 정치적 구성물이라고 주장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 완전히 검증된 선형 증명이 없는 상태에서도 수학자들이 주요 정리를 참으로 받아들이는가?
• RQ2 완전하지 않은 증명과 검증되지 않은 참고문헌이 널리 퍼져 있는 상황에서 수학 문헌의 신뢰성은 어느 정도인가?
• RQ3 수학 저널의 심사 과정이 왜 발표된 결과의 정확성을 보장하지 못하는가?
• RQ4 와일스와 페르렐라의 주요 증명들이 그 중요성에도 불구하고 수년이 걸려 수용된 이유는 무엇인가?
• RQ5 수학적 진리 개념이 논리적 완전성보다 사회적 합의에 의존하는 방식은 어떤가?

주요 결과

• 와일스와 페르렐라의 유명한 수학 정리들 역시 완전히 검증되지 않았으며, 그 정확성은 선형적 검증이 아닌 전문가의 합의에 기반한다.
• 유한 단순군의 분류는 여전히 논란의 대상이며, 보편적으로 수용된 완전한 증명이 없고, 문헌의 많은 결과들은 여전히 검증되지 않은 진술로 간주된다.
• 심사된 수학 저널의 대부분 논문은 깊이 있게 검토되지 않으며, 심사위원들이 대부분 진술만 확인하고 증명은 스킴으로 읽기 때문에 오류나 불완전한 주장이 널리 수용된다.
• 유명한 기초 저작인 유클리드의 원론조차도 논리적 빈도를 포함하고 있었고, 1000년이 넘도록 수정되지 않아 오랜 기간 수학적 추론의 결함이 존재했음을 보여준다.
• 미적분학의 역사적 발전을 보면, 주요 수학 분야는 기초가 철저히 확립되기 전에 150년 이상 사용되고 발전시켜졌으며, 이는 진리가 증명보다 앞서 있다는 것을 시사한다.
• 수학적 진리는 순수한 논리가 아니라 정치적 성격을 띤다. 정확성의 판단은 객관적 검증이 아니라 분야의 영향력 있는 전문가나 '우두머리'들에 의해 결정된다.