[논문 리뷰] Distributed Approximation of Maximum Independent Set and Maximum Matching

Reuven Bar-Yehuda, Keren Censor-Hillel외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 CONGEST 모델에서 최대 독립 집합(MaxIS)과 최대 무게 매칭(MWM)을 근사하기 위한 효율적인 분산 알고리즘을 제시한다. 그래프 색칠을 사용하여 O(Δ + log* n) 라운드 내에 결정적 Δ-근사 알고리즘을 제안하고, (2+ε)-근사 MWM를 위한 랜덤화된 O(log Δ / log log Δ)-라운드 알고리즘을 제시하여 Δ에 대한 의존성에 대해 최적의 라운드 복잡도를 달성한다.

ABSTRACT

We present a simple distributed $Δ$-approximation algorithm for maximum weight independent set (MaxIS) in the $\mathsf{CONGEST}$ model which completes in $O( exttt{MIS}(G)\cdot \log W)$ rounds, where $Δ$ is the maximum degree, $ exttt{MIS}(G)$ is the number of rounds needed to compute a maximal independent set (MIS) on $G$, and $W$ is the maximum weight of a node. %Whether our algorithm is randomized or deterministic depends on the exttt{MIS} algorithm used as a black-box. Plugging in the best known algorithm for MIS gives a randomized solution in $O(\log n \log W)$ rounds, where $n$ is the number of nodes. We also present a deterministic $O(Δ+\log^* n)$-round algorithm based on coloring. We then show how to use our MaxIS approximation algorithms to compute a $2$-approximation for maximum weight matching without incurring any additional round penalty in the $\mathsf{CONGEST}$ model. We use a known reduction for simulating algorithms on the line graph while incurring congestion, but we show our algorithm is part of a broad family of \emph{local aggregation algorithms} for which we describe a mechanism that allows the simulation to run in the $\mathsf{CONGEST}$ model without an additional overhead. Next, we show that for maximum weight matching, relaxing the approximation factor to ($2+\varepsilon$) allows us to devise a distributed algorithm requiring $O(\frac{\log Δ}{\log\logΔ})$ rounds for any constant $\varepsilon>0$. For the unweighted case, we can even obtain a $(1+\varepsilon)$-approximation in this number of rounds. These algorithms are the first to achieve the provably optimal round complexity with respect to dependency on $Δ$.

연구 동기 및 목표

• 대규모 네트워크에서 최대 독립 집합과 최대 무게 매칭을 근사하는 빠른 분산 알고리즘을 설계하기 위해.
• CONGEST 모델에서 선 그래프에 대한 알고리즘 시뮬레이션을 수행할 때 추가적인 혼잡도 오버헤드 없이 이를 극복하기 위해.
• 가중치 매칭 근사에 대해 최대 차수 Δ에 대한 증명 가능한 최적의 라운드 복잡도를 달성하기 위해.
• 강력한 근사 보장을 갖추고 통신 비용이 낮은 결정적 및 랜덤화된 해법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 반복적으로 최대 독립 집합(MIS)을 계산하고 무게를 감소시키는 방식으로 국소 비율 기법을 분산 환경에 적응시킨다.
• 무게에 따라 노드를 log W층으로 그룹화하여 매 반복에서 상단 층의 무게를 감소시키며, 이로 인해 O(MIS(G) · log W)의 라운드 복잡도를 유도한다.
• Δ+1-색칠을 사용하여 MIS 기반의 무게 감소를 결정적으로 시뮬레이션함으로써, 랜덤화된 MIS 알고리즘에 의존하지 않고도 O(Δ + log* n) 라운드를 달성한다.
• CONGEST에서 전형적인 O(Δ) 혼잡도 비용을 피하기 위해 선 그래프 알고리즘에 대한 새로운 시뮬레이션 메커니즘을 도입한다.
• 랜덤화된 이분 그래프 변환과 반복적 매칭을 활용하여 이분 그래프에서의 결과를 일반적인 비가중치 그래프로 일반화한다.
• Chernoff 한계를 사용한 확률적 분석을 통해 랜덤 노드 분할 및 제안 전략 하에서 높은 확률로 근사 보장을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CONGEST 모델에서 최대 무게 독립 집합에 대해 낮은 라운드 복잡도로 분산 Δ-근사 알고리즘을 달성할 수 있는가?
• RQ2 CONGEST에서 O(Δ)의 곱적 오버헤드 없이 선 그래프 시뮬레이션을 어떻게 에뮬레이트할 수 있는가?
• RQ3 CONGEST 모델에서 (2+ε)-근사 최대 무게 매칭에 대해 최적의 라운드 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 비가중치 매칭에 대해 (1+ε)-근사가 O(log Δ / log log Δ) 라운드 내에서 달성 가능한가?
• RQ5 랜덤화된 노드 분할이 일반 그래프에서 고정밀도 매칭 근사 달성에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 그래프 색칠을 사용하여 O(Δ + log* n) 라운드 내에 최대 무게 독립 집합에 대한 결정적 Δ-근사 알고리즘이 실행된다.
• MaxIS에 대한 랜덤화된 Δ-근사 알고리즘은 O(MIS(G) · log W) 라운드 내에서 완료되며, 실질적으로 MISE(G)는 O(log n) 이하로 제한된다.
• 선 그래프 알고리즘을 효율적으로 시뮬레이션함으로써 추가적인 라운드 비용 없이 최대 무게 매칭에 대해 2-근사가 달성된다.
• (2+ε)-근사 최대 무게 매칭에 대해 알고리즘은 O(log Δ / log log Δ) 라운드 내에서 실행되며, 이는 이론적 하한선에 로그 인자까지 일치한다.
• 비가중치 매칭에 대해 (1+ε)-근사가 O(log Δ / log log Δ) 라운드 내에서 달성 가능하며, 이는 Δ에 대해 증명 가능한 최적의 라운드 복잡도를 갖는 첫 번째 알고리즘이다.
• 선 그래프 알고리즘에 대한 시뮬레이션 메커니즘이 O(Δ) 혼잡도 오버헤드를 피함으로써 효율적인 분산 매칭 근사가 가능해진다.