[논문 리뷰] Dynamics of Electrostatic MEMS Actuators

Yisong Yang, Ruifeng Zhang외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 26.

Advanced MEMS and NEMS TechnologiesEngineering참고 문헌 12인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 단일 자유도를 가진 비감쇠 전기적 응력 MEMS 액추에이터의 역학을 엄밀한 수학적 분석으로 다루며, 에너지 보존 및 해밀토니안 방법을 사용하여 임계 풀인 전압 이하에서는 대칭적인 한 개의 정지점 주기 운동을, 그 이상에서는 유한 시간 내에 접촉(붕괴)이 발생함을 증명한다. 연구는 선형 탄성력의 경우 풀인 전압, 풀인 좌표, 정지 수준에 대한 명시적 표현을 수립하였고, 세제곱 비선형 탄성력의 경우 비선형성의 크기가 0으로 수렴할 때 이들 양이 선형 경우로 단조 수렴함을 보였다.

ABSTRACT

Electrostatic actuators are simple but important switching devices for MEMS applications. Due to the difficulties associated with the electrostatic nonlinearity, precise mathematical description is often hard to obtain for the dynamics of these actuators. Here we present two sharp theorems concerning the dynamics of an undamped electrostatic actuator with one-degree of freedom, subject to linear and nonlinear elastic forces, respectively. We prove that both situations are characterized by the onset of one-stagnation-point periodic response below a well-defined pull-in voltage and a finite-time touch-down or collapse of the actuator above this pull-in voltage. In the linear-force situation, the stagnation level, pull-in voltage, and pull-in coordinate of the movable electrode may all be determined explicitly, following the recent work of Leus and Elata based on numerics. Furthermore, in the nonlinear-force situation, the stagnation level, pull-in voltage, and pull-in coordinate may be described completely in terms of the electrostatic and mechanical parameters of the model so that they approach those in the linear-force situation monotonically in the zero nonlinear-force limit.

연구 동기 및 목표

• 강한 전기적 비선형성으로 인해 일반적으로 수치 시뮬레이션을 통해만 연구되는 비감쇠 전기적 응력 MEMS 액추에이터의 역학적 거동에 대한 정밀한 수학적 기술을 제공하기 위함.
• 대부분의 이전 연구가 정적인 상태 또는 편미분 방정식 모델에 집중함에 따라, MEMS 액추에이터의 동역학적 파동 방정식 특성에 대한 분석 연구의 부족을 보완하기 위함.
• 선형 및 비선형 탄성력 모델 하에서 풀인 전압 이하에서는 주기 운동의 존재를 보장하는 엄밀한 정리와, 그 이상에서는 유한 시간 내에 접촉(붕괴)이 발생함을 증명하기 위함.
• 분석을 세제곱 비선형 탄성력으로 확장하고, 이 방법이 더 일반적인 비선형성에 적용 가능함을 보여주기 위함.
• 감쇠 시스템에서도 충분히 높은 외부 전압이 가해질 경우 동적 접촉이 발생하는 보편적인 조건을 규명하기 위함.

제안 방법

• 저자는 비감쇠 단일 자유도 전기적 액추에이터의 운동 방정식을 유도하기 위해 에너지 보존을 제1적분으로 사용하며, 이를 해밀토니안 시스템으로 모델링한다.
• 선형 탄성력의 경우, 에너지 방정식을 명시적으로 풀어 정지 수준, 풀인 전압, 풀인 좌표를 닫힌 형태로 결정한다.
• 적용된 전압이 임계 풀인 전압 이하일 경우, 단일 정지점으로 특징지어지는 주기 운동이 발생함을 증명한다.
• 비선형(세제곱) 탄성력의 경우, 유사한 에너지 기반 접근법을 사용하며, 비선형성이 사라질수록 핵심 역학적 양들이 선형 경우로 단조 수렴함을 보여준다.
• 일반적인 탄성 포텐셜 함수를 가진 정규화된 해밀토니안으로 방법을 일반화하고, 이 방법이 여전히 유효하기 위한 필수 볼록성 조건을 규명한다.
• 감쇠가 존재하는 경우에도, 큰 적용 전압 하에서 해의 점근적 행동을 분석함으로써 보편적인 접촉 조건을 수립한다. 이는 미분 부등식 기법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 탄성력의 경우 비감쇠 전기적 응력 MEMS 액추에이터의 정밀한 동역학적 거동는 무엇이며, 임계 전압 이하에서 주기 운동을 나타내는가?
• RQ2 선형 탄성력의 경우 풀인 전압, 풀인 좌표, 정지 수준을 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 탄성력이 비선형적(예: 세제곱)일 경우 시스템의 거동는 어떻게 변화하며, 비선형성이 감소할수록 동역학적 양들이 선형 경우로 수렴하는가?
• RQ4 풀인 임계값을 초과하는 전압에서 시스템이 유한 시간 내에 접촉(붕괴)을 보이는 조건은 무엇인가?
• RQ5 감쇠 시스템에서도 충분히 높은 적용 전압이 가해질 경우 동적 접촉 현상은 보편적인가?

주요 결과

• 선형 탄성력의 경우, 풀인 전압, 풀인 좌표, 정지 수준가 명시적으로 결정되며, Leus와 Elata의 수치 결과와 일치한다.
• 적용된 전압이 풀인 전압 이하일 경우, 대칭적인 한 개의 정지점 주기 운동을 나타낸다.
• 풀인 전압을 초과할 경우, 해는 유한 시간 내에 붕괴되며, 이동 전극이 고정 전극에 도달하는(접촉) 데 유한 시간 내에 발생한다.
• 세제곱 비선형 탄성력의 경우, 정지 수준, 풀인 전압, 풀인 좌표는 모두 모델의 전기적 및 기계적 매개변수로 완전히 기술된다.
• 비선형력 계수의 크기가 0으로 수렴할수록 이들 양은 선형력에 대응하는 값으로 단조 수렴한다.
• 일반적인 조건(감쇠 포함) 하에서도 적용 전압이 임계값을 초과할 경우, 초기 조건과 관계없이 동적 접촉이 보편적으로 발생함을 보여주며, 이는 특이한 전기적 응력력의 지배적 영향 때문이다.