[논문 리뷰] Energy-preserving exponential integrable numerical method for stochastic cubic wave equation with additive noise

Jianbo Cui, Jialin Hong외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 34인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 가감성 소음이 있는 스토케스틱 세제곱파동방정식에 대해 에너지 보존성과 지수적 적분 가능성을 동시에 만족하는 새로운 수치적 방법을 제안한다. 공간 이산화에 스펙트럼 갈레르킨 방법을, 시간 이송에 분할 기법과 평균화된 벡터장 방법을 결합함으로써, 정확한 해의 에너지 변화 법칙과 지수적 적분 가능성을 그대로 유지하는 방법을 설계하였다. 이로 인해 시간 단계 $ h $ 와 오차 제어 변수 $ \epsilon $ 에 대해 강한 수렴 속도 $ O(h^2 + \epsilon^8) $ 를 달성하였다.

ABSTRACT

In this paper, we present an energy-preserving exponentially integrable numerical method for stochastic wave equation with cubic nonlinearity and additive noise. We first apply the spectral Galerkin method to discretizing the original equation and show that this spatial discretization possesses an energy evolution law and certain exponential integrability property. Then the exponential integrability property of the exact solution is deduced by proving the strong convergence of the semi-discretization. To propose a full discrete numerical method which could inherit both the energy evolution law and the exponential integrability, we use the splitting technique and averaged vector field method in the temporal direction. Combining these structure-preserving properties with regularity estimates of the exact and the numerical solutions, we obtain the strong convergence rate of the numerical method. Numerical experiments coincide with these theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 가감성 소음이 있는 스토케스틱 세제곱파동방정식의 에너지 변화 법칙과 지수적 적분 가능성 성질을 모두 보존하는 완전 이산화 수치적 스킴을 개발하는 것.
• 공간적 스펙트럼 갈레르킨 이산화와 시간적 분할 기법 및 평균화된 벡터장 방법을 가정할 때, 수치적 방법의 강한 수렴성을 확립하는 것.
• 스펙트럼 갈레르킨 근사의 균일한 지수적 적분 가능성과 정규성 추정을 활용하여 정확한 해의 지수적 적분 가능성 성질을 증명하는 것.
• 특히 내재된 물리적 성질을 보존하는 구조 보존 수치 방법의 부족을 메우기 위해, 세제곱 비선형성을 갖는 스토케스틱 파동방정식에 대해 기여하는 것.
• 이론적 예측과 일치하는 수치 실험을 통해 이론적 수렴 속도를 검증하는 것.

제안 방법

• 공간 이산화에는 에너지 변화 법칙을 보존하고 반세미 이산계에서 지수적 적분 가능성을 보여주는 스펙트럼 갈레르킨 방법을 사용한다.
• 시간 이산화에는 에너지 보존성과 시간적 지수적 적분 가능성을 유지하기 위해 분할 기법과 평균화된 벡터장 방법을 조합한다.
• 이 방법은 정확한 해의 에너지 변화 법칙과 지수적 적분 가능성 성질을 그대로 이어받도록 설계되어 장기적 안정성과 정확성을 보장한다.
• 수렴 분석을 뒷받침하기 위해 정확한 해와 수치적 해에 대한 사전 추정과 정규성 경계를 도출한다.
• 확률적 큰 이격을 제어하기 위해 가우시안 尾 꼬리 추정과 소볼레프 포함 정리(소볼레프 임bedding theorems)를 사용한다.
• 반복적 오차 추정을 적용하여 최종 강한 수렴 속도를 유도하며, 오차는 $ \mathbb{E}[\|u^* - u^{N,k+1}\|_{L^2}^2] \leq C \max(h^2, \epsilon^8) \left( (1/2)^{k+1} + \exp(-\eta / \epsilon^2) \right) $ 로 유계화된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가감성 소음이 있는 스토케스틱 세제곱파동방정식의 에너지 변화 법칙과 지수적 적분 가능성을 모두 보존하는 완전 이산화 수치적 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 적절한 정규성 및 적분 가능성 조건 하에서, 이러한 구조 보존 스킴의 강한 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ3 스토케스틱 세제곱파동방정식의 정확한 해는 지수적 적분 가능성 성질을 갖는가, 그리고 이 성질을 수치적 방법이 이어받을 수 있는가?
• RQ4 스펙트럼 갈레르킨 방법과 분할 기법은 방정식의 내재된 기하학적 및 확률적 구조를 어떻게 상호작용하여 보존하는가?
• RQ5 제안된 방법은 최적의 수렴 속도를 달성하면서도 장기적 안정성과 에너지 보존성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 가감성 소음이 있는 스토케스틱 세제곱파동방정식의 정확한 해는 지수적 적분 가능성 성질을 만족한다: $ \mathbb{E}\left[\exp\left(\int_0^T c\|u(s)\|_{L^6}^2 ds\right)\right] \leq C $, 여기서 $ C $ 는 초기 조건, 소음, 시간, 차원에 의존한다.
• 스펙트럼 갈레르킨 반세미 이산화 방법은 에너지 변화 법칙과 지수적 적분 가능성을 모두 보존하여, 완전 이산화의 강한 수렴성을 도출할 수 있다.
• 스펙트럼 갈레르킨을 공간에, 분할-평균화된 벡터장 방법을 시간에 적용한 제안된 완전 이산화 방법은 에너지 변화 법칙과 지수적 적분 가능성 성질을 모두 이어받는다.
• 수치적 방법의 강한 수렴 속도는 $ \mathbb{E}[\|u^* - u^{N,k+1}\|_{L^2}^2] \leq C \max(h^2, \epsilon^8) \left( (1/2)^{k+1} + \exp(-\eta / \epsilon^2) \right) $ 로 확립되었으며, 이는 시간에 대해 2차 수렴 속도와 오차 유계에서의 고차수 지수 감쇠를 나타낸다.
• 수치 실험 결과 이론적 수렴 속도가 검증되었으며, 제안된 방법의 정확성과 안정성이 확인되었다.
• 이 방법은 에너지 기능의 모멘트 유계성을 보장하고, 가우시안 꼬리 추정을 통해 큰 이격을 제어하여 스킴의 강건성을 뒷받침한다.