[논문 리뷰] Euclidean geometry as algorithm for construction of generalized geometries

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|2005. 11. 23.

Mathematics and Applications참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유클리드 기하학의 월드 함수를 변형함으로써 일반화된 기하학—상대론적 또는 양자역학적 유사 공간시간—을 구성하는 새로운 방법을 제안한다. 유클리드 월드 함수를 수정된 것으로 대체함으로써, 모든 기하학적 구성은 유클리드 알고리즘의 논리적 구조를 이어받으며, 질량에 따라 달라지는 스토하스틱 입자 운동을 자연스럽게 나타내는 결정론적 기하학을 도출한다. 변형 매개변수를 $ d = \hbar/(2bc) $로 설정할 경우, 이러한 스토하스틱성의 통계적 기술은 슈뢰딩거 방정식을 재현하며, 양자 원리들을 도입하지 않고도 양자 현상에 대한 기하학적 기초를 제공한다.

ABSTRACT

It is shown that the generalized geometries may be obtained as a deformation of the proper Euclidean geometry. Algorithm of construction of any proposition S of the proper Euclidean geometry E may be described in terms of the Euclidean world function sigma_E in the form S(sigma_E). Replacing the Euclidean world function sigma_E by the world function sigma of the geometry G, one obtains the corresponding proposition S(sigma) of the generalized geometry G. Such a construction of the generalized geometries (known as T-geometries) uses well known algorithms of the proper Euclidean geometry and nothing besides. This method of the geometry construction is very simple and effective. Using T-geometry as the space-time geometry, one can construct the deterministic space-time geometries with primordially stochastic motion of free particles and geometrized particle mass. Such a space-time geometry defined properly (with quantum constant as an attribute of geometry) allows one to explain quantum effects as a result of the statistical description of the stochastic particle motion (without a use of quantum principles).

연구 동기 및 목표

• 유클리드 기하학을 기반으로 한 일반화된 기하학을 체계적이고 알고리즘적으로 구성하는 방법을 개발하기 위해.
• 양자 원리들을 도입하지 않고도 양자 스토하스틱성을 설명하는 기초 문제를 해결하기 위해.
• 입자 운동이 본질적으로 스토하스틱인 결정론적 시공간 기하학을 구성하기 위해.
• 슈뢰딩거 방정식이 이러한 기하학적 스토하스틱성의 통계적 극한으로 나타나는지 보여주기 위해.
• 양자역학의 임의적 가정을 공간시간의 구조에 뿌리내린 기하학적 기초로 대체하기 위해.

제안 방법

• 기본 기하학적 객체로 점 집합 대신 거리의 제곱의 반인 월드 함수 $ \sigma $ 를 사용한다.
• 유클리드 기하학의 모든 기하학적 구성은 유클리드 월드 함수 $ \sigma_{\mathrm{E}} $ 를 대상으로 작동하는 알고리즘으로 재구성된다.
• 일반화된 기하학은 $ \sigma_{\mathrm{E}} $ 를 새로운 월드 함수 $ \sigma $ 로 대체함으로써 도출되며, 알고리즘적 구조를 유지한다.
• 이로 인해 유도되는 기하학, 즉 T-기하학은 결정론적이지만, 시공간의 왜곡으로 인해 입자 궤적에 내재된 스토하스틱성을 나타낸다.
• 왜곡 매개변수 $ d $ 는 $ d = \hbar/(2bc) $ 를 통해 양자 상수와 연결되며, 기하학과 양자역학을 연결한다.
• 이 기하학에서 스토하스틱 입자 궤적을 통계적으로 평균화하면 슈뢰딩거 방정식이 재현된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일관된 알고리즘 프레임워크를 사용하여 유클리드 기하학으로부터 일반화된 기하학을 구성할 수 있는가?
• RQ2 양자 시스템의 특징적인 스토하스틱 입자 운동은 결정론적 시공간 기하학으로부터 어떻게 기인하는가?
• RQ3 입자의 질량이 기하학적 프레임워크 내에서 자유 입자 운동의 스토하스틱성 정도에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ4 슈뢰딩거 방정식은 결정론적 기하학적 모델의 입자 운동의 통계적 극한으로 유도될 수 있는가?
• RQ5 양자 상수 $ \hbar $ 는 공간시간의 내재된 성질로서 기하학적 해석을 가질 수 있는가?

주요 결과

• 월드 함수 $ \sigma $ 는 유클리드 기하학의 구조를 완전히 결정하며, 유일한 기본 기하학적 객체가 된다.
• $ \sigma_{\mathrm{E}} $ 를 변형된 월드 함수 $ \sigma_{\mathrm{d}} $ 로 대체함으로써, 모든 유클리드 알고리즘을 유지하는 일반화된 기하학 $ \mathcal{G}_{\mathrm{d}} $ 가 도출된다.
• 왜곡된 기하학 $ \mathcal{G}_{\mathrm{d}} $ 에서 자유 입자 세계선은 질량 $ \mu_{\mathrm{d}} $ 와 왜곡 $ d $ 에 따라 달라지는 특성 각도 $ \vartheta_{\mathrm{dM}} \approx \sqrt{2d}/\mu_{\mathrm{d}} $ 를 가진 무작위 진동을 나타낸다.
• 변형 매개변수 $ d = \hbar/(2bc) $ 일 경우, $ \mathcal{G}_{\mathrm{d}} $ 내에서의 스토하스틱 입자 운동의 통계적 기술은 슈뢰딩거 방정식을 재현한다.
• 이로 유도된 모델, 즉 양자 현상의 모델 개념(MCQP)은 상대론적으로 불변이며, 양자 이론에 대한 기하학적 기초를 제공한다.
• 민코프스키 기하학은 $ \mathcal{G}_{\mathrm{d}} $ 의 극한 경우이지만, $ \mathcal{G}_{\mathrm{d}} $ 는 본질적으로 더 기본적이며 자연스럽게 양자역학적 행동을 포함한다.