[논문 리뷰] Exponential convergence of the hp Virtual Element Method with corner singularities

Lorenzo Mascotto, L. Beirão da Veiga외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 30.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 46인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 모서리 특이성이 있는 다각형 메esh에서 2차원 푸아송 문제에 대한 $hp$ 가상요소법의 지수적 수렴성을 확립한다. 메쉬 크기 $h$와 다항식 차수 $p$에 명시적인 의존성을 가지는 새로운 안정화 항을 도입하고, 국소적으로 변화하는 다항식 차수를 갖는 기하학적 등급 메쉬를 활용하여, 에너지 노름에서 지수적 수렴을 증명한다. 이는 $hp$-FEM 이론을 형태 정규성 조건이나 메쉬 일치 조건을 요구하지 않는 일반적인 다각형 메쉬로 확장한다.

ABSTRACT

In the present work, we analyze the $hp$ version of Virtual Element methods for the 2D Poisson problem. We prove exponential convergence of the energy error employing sequences of polygonal meshes geometrically refined, thus extending the classical choices for the decomposition in the $hp$ Finite Element framework to very general decomposition of the domain. A new stabilization for the discrete bilinear form with explicit bounds in $h$ and $p$ is introduced. Numerical experiments validate the theoretical results. We also exhibit a numerical comparison between $hp$ Virtual Elements and $hp$ Finite Elements.

연구 동기 및 목표

• 기존의 $hp$-FEM 이론이 적용 가능한 모서리 특이성이 있는 다각형 메쉬에 대해, 기존의 $hp$-가상요소법 이론을 보다 일반화하여 적용할 수 있도록 확장한다.
• 메쉬 크기 $h$와 다항식 차수 $p$에 대한 명시적인 상한을 갖는 새로운 안정화 항을 제안하여, 이산 양자형 형식의 $hp$-분석을 가능하게 한다.
• 모서리 특이성이 있는 비스무스 해에 대해 기하학적으로 세분화된 메쉬와 국소적으로 변화하는 다항식 차수를 사용하여 에너지 오차의 지수적 수렴을 증명한다.
• 다각형 메쉬의 메쉬 기하학에 대한 제한 조건(형태 정규성 또는 메쉬 일치 조건)을 제거하기 위해, 다각형 위 다항식에 대한 새로운 역추정을 도입한다.

제안 방법

• 메쉬 크기 $h$와 다항식 차수 $p$에 대한 명시적인 의존성을 갖는 새로운 안정화 항을 $hp$-VEM 이산 양자형 형식에 도입하여, 다양한 요소 유형과 다항식 차수에서의 안정성을 확보한다.
• 특이점(예: 원점) 근처로 수축하는 기하학적 등급 다각형 메쉬를 구성하며, 층 $L_0$의 요소에서는 $h_K \approx \sigma^n$으로, 층 $j$에서는 $h_K \approx \sigma^{n-j}$로 정의한다.
• 다양한 요소 간에 변화하는 국소 다항식 차수 벡터 $\mathbf{p}$를 정의하며, $p_K \geq 2$ 이고, 특이점에서의 거리에 따라 선형적으로 증가하도록 선택한다.
• 다각형 요소 위 다항식에 대한 새로운 역추정을 유도하며, 이는 안정화 항의 상한을 구하고 $hp$-로버스트성을 증명하는 데 필수적이다.
• 에너지 오차를 세 부분으로 분해한다: 일致성 오차, 다항식 공간 내 최적 근사 오차, 가상요소 공간 내 최적 근사 오차이며, 각각을 메쉬 및 다항식 차수 파rameter로 상한을 제시한다.
• 적절한 $\mathbf{p}$와 기하학적 메쉬 수열을 선택하여 모든 오차 상한을 통합함으로써, 자유도 수에 대해 에너지 노름에서 지수적 수렴을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 다각형 메쉬에서 모서리 특이성이 있는 문제에 대해 $hp$-VEM이 $hp$-FEM과 유사하게 지수적 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 비스무스 해에 대해 $hp$-VEM 프레임워크에서 $h$-와 $p$-로버스트성을 보장하는 안정화 전략은 무엇인가?
• RQ3 모서리 특이성이 존재할 경우 수렴 속도를 최적화하기 위해 메쉬 등급과 국소 다항식 차수 분포는 어떻게 선택해야 하는가?
• RQ4 형태 정규성 또는 메쉬 일치 조건을 요구하지 않고도 이론적 수렴성을 달성할 수 있는가?
• RQ5 VEM의 $hp$-분석을 뒷받침하기 위해 필요한 다각형 요소 위 다항식에 대한 새로운 역추정은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 $hp$-VEM은 비정규 다각형 메쉬에서도 2차원 푸아송 문제의 모서리 특이성에 대해 에너지 오차의 지수적 수렴을 달성한다.
• 새로운 안정화 항은 $H^1$ 반노름에서 $h$와 $p$에 대한 명시적인 의존성을 갖는 것으로 증명되었으며, 엄밀한 $hp$-분석을 가능하게 한다.
• 수치 실험 결과 이론적 지수적 수렴 속도를 확인하였으며, 특정 구성에서 기존의 표준 $hp$-FEM보다 뛰어난 성능을 보였다.
• 스티프니스 행렬의 최소 일반화 고유값은 $p^{-1}$ 비슷하게 스케일링되며, 이는 안정성에 대한 이론적 상한이 보수적이지만 실제 조건수는 덜 엄격함을 시사한다.
• 형태 정규성 또는 메쉬 일치 조건을 요구하지 않아도 지수적 수렴을 달성하므로, 복잡한 기하학 및 적응형 메쉬에 적합하다.
• 다각형 요소 위 다항식에 대한 새로운 역추정을 도출하고 증명하였으며, 이는 $hp$-VEM 수렴 증명에 필수적이며 다각형 방법 분야에 광범위한 응용 가능성을 지닌다.