[논문 리뷰] Extended Functorial Field Theories and Anomalies in Quantum Field Theories

Lukas Müller|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 18.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 128인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 대칭 모나드 2-범주를 사용하여 양자장론의 이상함을 한 차원 높은 차원에서의 가역 장이론으로 기술하는 확장된 함자적 장이론 프레임워크를 개발한다. 비정상적인 이론들은 그 경계에서 실현된다. 다각형을 가진 다양체에서 Atiyah-Patodi-Singer 지표정리에 기반한 페어리 이상함에 대한 명시적 구성과, 비아벨 군 코hom로 및 Lyndon-Hochschild-Serre 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 Dijkgraaf-Witten 이론에서 't Hooft 이상함의 조건을 도출한다.

ABSTRACT

We develop a general framework for the description of anomalies using extended functorial field theories extending previous work by Freed and Monnier. In this framework, anomalies are described by invertible field theories in one dimension higher and anomalous field theories live on their boundaries. We provide precise mathematical definitions for all concepts involved using the language of symmetric monoidal bicategories. In particular, field theories with anomalies will be described by symmetric monoidal transformations. The use of higher categorical concepts is necessary to capture the Hamiltonian picture of anomalies. The relation to the path integral and the Hamiltonian description of anomalies will be explained in detail. Furthermore, we discuss anomaly inflow in detail. We apply the general framework to the parity anomaly in fermionic systems coupled to background gauge and gravitational fields on odd-dimensional spacetimes. We use the extension of the Atiyah-Patodi-Singer index theorem to manifolds with corners due to Loya and Melrose to explicitly construct an extended invertible field theory encoding the anomaly. This allows us to compute explicitly the 2-cocycle of the projective representation of the gauge symmetry on the quantum state space. As a second application, we study discrete symmetries of Dijkgraaf-Witten theories and their gauging. Non-abelian group cohomology is used to describe discrete symmetries and we derive concrete conditions for such a symmetry to admit 't Hooft anomalies in terms of the Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence. We give an explicit realization of a discrete gauge theory with 't Hooft anomaly as a state on the boundary of a higher-dimensional Dijkgraaf-Witten theory.

연구 동기 및 목표

• 고차 범주적 구조를 사용하여 양자장론의 이상함에 대해 수학적으로 엄밀한 기술을 제공하는 것.
• 확장된 함자적 장이론 기반의 단일 프레임워크 내에서 이상함의 경로 적분 기술과 해밀토니안 기술을 통합하는 것.
• 배경 게이지 및 중력장이 존재하는 홀수 차원 페르미온계에서 이상함을 포함하는 가역 장이론을 명시적으로 구성하는 것.
• 비아벨 군 코호몰로지와 스펙트럴 시퀀스를 통해 Dijkgraaf-Witten 이론에서 't Hooft 이상함의 존재 조건을 유도하는 것.
• 이상함을 가진 이산 게이지 이론을 고차원 Dijkgraaf-Witten 이론의 경계 상태로 실현하는 것.

제안 방법

• 이상함을 가진 장이론을 대칭 모나드 2-범주를 통해 대칭 모나드 변환으로 형식화하는 것.
• Loya와 Melrose의 기여로 다각형을 가진 다양체로 확장된 Atiyah-Patodi-Singer 지표정리를 사용하여 페르미온계의 이상함 장이론을 구성하는 것.
• Dijkgraaf-Witten 이론의 이산 대칭을 분류하기 위해 비아벨 군 코호몰로지를 적용하는 것.
• 이산 게이지 이론에서 't Hooft 이상함의 존재 조건을 도출하기 위해 Lyndon-Hochschild-Serre 스펙트럴 시퀀스를 이용하는 것.
• 't Hooft 이상함을 가진 이산 게이지 이론을 경계 상태로 실현하는 고차원 Dijkgraaf-Witten 이론을 구성하는 것.
• 확장된 장이론과 한 차원 높은 가역 장이론의 형식을 사용하여 해밀토니안 이상함의 그림을 경로 적분과 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 고차 범주적 언어로 확장된 함자적 장이론을 사용하여 양자장론의 이상함을 체계적으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 배경 게이지 및 중력장이 존재하는 홀수 차원 시공간에서 페르미온계의 정확한 수학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 't Hooft 이상함은 Dijkgraaf-Witten 이론에서 이산 대칭의 코homological 자료로부터 어떻게 유도되는가?
• RQ4 Lyndon-Hochschild-Serre 스펙트럴 시퀀스는 't Hooft 이상함의 존재를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 't Hooft 이상함을 가진 이산 게이지 이론은 어떻게 고차원 토폴로지적 장이론의 경계 상태로 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 홀수 차원 페르미온계에서의 페어리 이상함은 다각형을 가진 다양체에서 Atiyah-Patodi-Singer 지표정리를 통해 구성된 확장된 가역 장이론에 포함된다.
• 게이지 대칭의 양자 상태 공간 위의 프로젝티브 표현의 2-코호몰로지가 이상함 장이론 구성에 의해 명시적으로 계산된다.
• 't Hooft 이상함의 존재 조건은 비아贝尔 군 코호몰로지와 Lyndon-Hochschild-Serre 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 도출된다.
• 이상함을 가진 이산 게이지 이론은 고차원 Dijkgraaf-Witten 이론의 경계 상태로 실현되며, 이는 이상함 유입 메커니즘을 확인한다.
• 이 프레임워크는 대칭 모나드 2-범주를 통해 경로 적분과 해밀토니안 이상함 기술을 성공적으로 통합한다.
• 특히 경계와 모서리가 존재하는 상황에서 해밀토니안 이상함의 구조를 포괄하기 위해 대칭 모나드 2-범주가 필수적이다.