[논문 리뷰] FIFO anomaly is unbounded

Péter Fornai, Antal Iványi|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 05.

Optimization and Search Problems참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 FIFO 페이지 교체 알고리즘에서 유한한 비율을 초월하는 비정상 현상이 발생할 수 있음을 증명한다: 메모리 크기를 늘릴수록 페이지 결함 수가 급격히 증가하여 통찰력과 배치된다. 저자들은 비정상 비율(더 큰 메모리에서의 페이지 결함 수를 더 작은 메모리에서의 페이지 결함 수로 나눈 값)이 임의의 유한한 값보다 높아지는 참조 문자열을 구성하여, 비정상 비율이 2 이하라는 벨라디의 추측을 반증한다.

ABSTRACT

Virtual memory of computers is usually implemented by demand paging. For some page replacement algorithms the number of page faults may increase as the number of page frames increases. Belady, Nelson and Shedler constructed reference strings for which page replacement algorithm FIFO produces near twice more page faults in a larger memory than in a smaller one. They formulated the conjecture that 2 is a general bound. We prove that this ratio can be arbitrarily large.

연구 동기 및 목표

• FIFO 비정상 비율이 2 이하로 유계임을 주장한 벨라디의 추측을 반증하기 위해.
• FIFO 페이지 교체 알고리즘에서 비정상 비율이 임의로 크게 만들 수 있음을 보여주기 위해.
• 임의로 큰 비정상 비율을 유도하는 명시적인 참조 문자열을 구성하기 위해.
• 원하는 비정상 비율을 위해 이러한 참조 문자열을 생성하는 일반 알고리즘을 제공하기 위해.

제안 방법

• 비정상 비율을 생성하는 의사코드 알고리즘 ANOMALY를 사용하여 참조 문자열 R을 구성한다.
• 길이 n(홀수, n ≥ 5)인 순환 참조 문자열을 사용하며, 작은 메모리에서는 m = n-2 프레임을 사용한다.
• 작은 메모리는 (w3, w4, ..., wn)로 초기화되고, 큰 메모리는 (2, 3, ..., n)로 초기화되는 제어 상태 메커니즘을 적용한다.
• FIFO에서의 페이지 결함 행동을 분석하여, 작은 메모리에서는 n건의 결함이 발생하고, 큰 메모리에서는 n(n-1)/2건의 결함이 발생함을 보여준다.
• n이 증가함에 따라 비정상 비율 fFIFO(R, M)/fFIFO(R, m)가 (n-1)/2로 수렴함을 보여준다.
• 수론 레미마를 사용하여 FIFO 하에서 페이지 교체 순서의 주기성 및 모듈로 성질을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 FIFO 비정상 비율이 유한한 상한을 초월할 수 있는가? 이는 벨라디의 추측과 배치된다.
• RQ2 어떤 참조 문자열 구성 방식이 FIFO에 대해 임의로 큰 비정상 비율을 유도하는가?
• RQ3 비정상 비율은 메모리 크기와 참조 문자열 구조에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ4 순환 참조 문자열 하에서 FIFO의 최대 가능한 비정상 비율은 얼마인가?

주요 결과

• FIFO 비정상 비율은 임의로 크게 만들 수 있으며, 이는 비정상 비율이 2 이하로 유계임을 주장한 벨라디의 추측을 반증한다.
• 임의의 큰 수 L에 대해, fFIFO(R, M)/fFIFO(R, m) > L를 만족하는 매개변수 m, M 및 참조 문자열 R가 존재한다.
• 홀수 n에 대해 비정상 비율은 (n-1)/2로 수렴하며, 이때 n은 서로 다른 페이지의 수이다.
• n = 15일 때 비정상 비율이 7를 초과하며, n이 증가함에 따라 비정상 비율은 무한히 증가한다.
• ANOMALY 알고리즘은 작은 메모리가 특정 제어 상태에 도달하도록 유도하면서도 큰 메모리에서 최대한 많은 페이지 결함을 발생시킨다.
• 논문은 순환 참조 문자열이라도 비정상 현상이 유계가 아니며, 이는 종종 최악의 경우로 간주되는 상황임을 증명한다.