[논문 리뷰] Fixed-point algebras for proper actions and crossed products by homogeneous spaces

Astrid an Huef, S. Kaliszewski외 2명|ArXiv.org|2009. 07. 03.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 적절한 작용과 동차 공간의 맥락에서 Rieffel의 모리타 동치가 교차곱과 고정점 대수 사이에 자연스럽고 함의론적인 프레임워크를 수립한다. 이는 Rieffel 이론의 이중모듈러를 사용하여 동차 공간 G/H 에 대한 작용의 교차곱 표현에 대해 단계적 유도 정리를 증명하며, 고정점 대수와 모리타 동치의 자연스러운 가환 다이어그램을 구성한다.

ABSTRACT

We consider a fixed free and proper action of a locally compact group $G$ on a space $T$, and actions $α:G o \Aut A$ on $C^*$-algebras for which there is an equivariant embedding of $(C_0(T), t)$ in $(M(A),α)$. A recent theorem of Rieffel implies that $α$ is proper and saturated with respect to the subalgebra $C_0(T)AC_0(T)$ of $A$, so that his general theory of proper actions gives a Morita equivalence between $A times_{α,r}G$ and a generalised fixed-point algebra $A^α$. Here we investigate the functor $(A,α)\mapsto A^α$ and the naturality of Rieffel's Morita equivalence, focusing in particular on the relationship between the different functors associated to subgroups and quotients. We then use the results to study induced representations for crossed products by coactions of homogeneous spaces $G/H$ of $G$, which were previously shown by an Huef and Raeburn to be fixed-point algebras for the dual action of $H$ on the crossed product by $G$.

연구 동기 및 목표

• 적절한 작용의 맥락에서 감소된 교차곱과 일반화된 고정점 대수 사이의 Rieffel의 모리타 동치의 자연성과 함의론성을 조사하는 것.
• 특히 부분군 포함에 따른 고정점 대수의 구조에 초점을 맞추어, 동차 공간 G/H 에 대한 작용의 교차곱 이론을 확장하는 것.
• Rieffel의 동치에서 유도된 이중모듈러를 사용하여 동차 공간에 의한 교차곱 표현에 대한 체계적인 유도 과정을 구성하는 것.
• 중첩된 부분군 H ⊂ K ⊂ L 에 대해 고정점 대수와 모리타 동치의 가환 다이어그램을 수립하여 단계적 유도 성질을 실현하는 것.
• 고정점 대수의 맥락에서 Green의 유도 및 제약 사상 간의 쌍대성에 대한 카테고리적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 로컬 콪 pact 그룹 G 가 공간 T 에 자유적이고 적절한 작용을 하는 경우, 그에 관련된 반순서 카테고리(semi-comma category)를 사용하여 C₀(T) → M(A) 의 G--equivariant 임bedding φ 를 갖는 삼중항 (A, α, φ) 의 카테고리 모델링.
• Rieffel의 적절하고 포화된 작용 이론을 적용하여 감소된 교차곱 A ⋊ᵣ,α G 가 일반화된 고정점 대수 A^α ⊆ M(A) 와 모리타 동치임을 보이며, 고정된 밀도 부분대수 φ(C_c(T))Aφ(C_c(T)) 를 자연스럽게 선택함.
• Fix: (A, α, φ) ↦ A^α 라는 함의론을 구성하고, Rieffel의 이중모듈러를 통해 그 자연성을 증명함으로써, 이 모리타 동치가 적절한 카테고리에서 자연스러운 동형사상임을 보임.
• 닫힌 부분군 H ⊆ G 에 대해 (T, G) = (G, H) 의 경우에 일반 프레임워크를 적용하여 고정점 대수를 동차 공간 G/H 에 의한 교차곱으로 식별함.
• Rieffel의 동치를 실현하는 이중모듈러를 사용하여 G/H 의 코작용에 의한 교차곱 표현에 대한 유도 과정을 정의함.
• 다중 고정점 대수와 포함 사상이 포함된 핵심 다이어그램의 가환성을 증명하며, 엄밀 연속 확장과 멀티플라이어 대수의 동형사상에 의해 단계적 유도 성질을 확립함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적절한 작용의 맥락에서 Rieffel의 교차곱과 고정점 대수 사이의 모리타 동치를 어떻게 자연스럽고 함의론적으로 만들 수 있는가?
• RQ2 동차 공간 G/H 에 의한 코작용에 의한 교차곱에 대해 고정점 대수와 유도 표현 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 Rieffel 이론의 이중모듈러를 사용하여 G/H 의 코작용에 의한 교차곱 표현에 대해 단계적 유도 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ4 중첩된 부분군 H ⊂ K ⊂ L 에 대해 고정점 대수들이 포함 및 제약 사상에 의해 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 고정점 대수와 모리타 동치의 다이어그램은 가환적이며, 이는 단계적 유도 성질을 포함하는가?

주요 결과

• 이중모듈러 Z(A, α, φ) 에 의한 A ⋊ᵣ,α G 와 일반화된 고정점 대수 A^α 사이의 모리타 동치는 삼중항 (A, α, φ) 의 카테고리에서 자연스러운 동형사상이다.
• 고정점 대수 A^α 는 M(A) 에 자연스럽게 포함되며, 이 포함은 엄밀 연속적이다. 이는 멀티플라이어 대수로의 동형사상 확장을 가능하게 한다.
• G 에 대한 작용 δ 를 갖는 B 와 닫힌 부분군 H 에 대해, B ⋊_δ G 에서 H 의 쌍대 작용의 고정점 대수는 B ⋊_δ (G/H) 와 동형이며, 이는 Mansfield 의 불가분성 정리를 임의의 닫힌 부분군으로 확장한다.
• 동차 공간에 의한 교차곱 표현에 대한 유도 과정은 Rieffel의 동치를 실현하는 이중모듈러를 통해 실현되며, 단계적 유도 성질을 만족한다.
• 다중 고정점 대수와 포함 사상이 포함된 가환 다이어그램을 구성하였으며, 상단, 오른쪽, 하단 경로는 각각 Z_{G/K}^{G/H}(B, δ), Z_{G/L}^{G/K}(B, δ), Z_{G/L}^{G/H}(B, δ) 라는 이중모듈러에 해당한다.
• 다이어그램의 가환성은 상단 및 하단 경로를 따라 합성된 사상들이 동일한 준동형사상의 엄밀 연속 확장이므로 동일하다는 점을 보여 증명된다.