[논문 리뷰] FPT-algorithms for computing Gromov-Hausdorff and interleaving distances between trees

Elena Farahbakhsh Touli, Yusu Wang|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 06.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 메트릭 트리 간의 Gromov-Hausdorff 거리에 대해 승수 요인 14 이내에서 근사화하는 최초의 고정 매개변수 다항식 시간(FPT) 알고리즘을 제시한다. 저자들은 Gromov-Hausdorff 거리와 메르지 트리의 인터레잉잉 거리 사이에 새로운 연결 고리를 설정함으로써, 동적 프로그래밍을 가능하게 하는 인터레잉잉 거리의 재정의를 수행하여, 인터레잉잉 거리에 대한 정확한 FPT 알고리즘을 도출하고, 이를 통해 Gromov-Hausdorff 거리에 대한 FPT 근사 알고리즘을 얻는다.

ABSTRACT

Gromov-Hausdorff (GH) distance is a natural way to measure the distortion between two metric spaces. However, there has been only limited algorithmic development to compute or approximate this distance. We focus on computing the Gromov-Hausdorff distance between two metric trees. Roughly speaking, a metric tree is a metric space that can be realized by the shortest path metric on a tree. Previously, Agarwal et al. showed that even for trees with unit edge length, it is NP hard to approximate the GH distance between them within a factor of 3. In this paper, we present a fixed-parameter tractable (FPT) algorithm that can approximate the GH distance between two general metric trees within a factor of 14. Interestingly, the development of our algorithm is made possible by a connection between the GH distance for metric trees and the interleaving distance for the so-called merge trees. The merge trees arise in practice naturally as a simple yet meaningful topological summary, and are of independent interest. It turns out that an exact or approximation algorithm for the interleaving distance leads to an approximation algorithm for the Gromov-Hausdorff distance. One of the key contributions of our work is that we re-define the interleaving distance in a way that makes it easier to develop dynamic programming approaches to compute it. We then present a FPT algorithm to compute the interleaving distance between two merge trees exactly, which ultimately leads to an FPT-algorithm to approximate the GH distance between two metric trees. This exact FPT-algorithm to compute the interleaving distance between merge trees is of interest itself, as it is known that it is NP-hard to approximate it within a factor of 3, and previously the best known algorithm has an approximation factor of $O(\sqrt{n})$ even for trees with unit edge length.

연구 동기 및 목표

• 메트릭 공간 간의 자연스럽지만 계산적으로 어려운 거리 척도인 메트릭 트리 간의 Gromov-Hausdorff 거리의 계산 또는 근사화를 위한 효율적인 알고리즘을 개발하는 것.
• 단위 간선 트리에 대해서조차 Gromov-Hausdorff 거리의 근사화가 NP-난이도임을 고려하여 고정 매개변수 다항식 시간(FPT)을 활용하는 것.
• 메트릭 트리 간의 Gromov-Hausdorff 거리와 메르지 트리 간의 인터레잉잉 거리 사이의 연결 고리를 확립하여, 두 거리 간의 알고리즘 전이를 가능하게 하는 것.
• 동적 프로그래밍에 적합한 방식으로 인터레잉잉 거리를 재정의하여 계산을 단순화하고 정확한 FPT 알고리즘을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 두 매핑의 쌍이 아닌 하나의 매핑을 사용하여 인터레잉잉 거리를 재정의함으로써 알고리즘 설계를 단순화하는 것.
• 시간 복잡도를 제어하기 위해 매개변수화된 차수 제한 τ를 갖는 메르지 트리에 동적 프로그래밍을 적용하는 것.
• 최소 인터레잉잉 거리를 효율적으로 찾기 위해 후보 δ 값과 τ 값에 대한 이중 이진 탐색 절차를 도입하는 것.
• 메트릭 트리의 Gromov-Hausdorff 거리와 관련된 메르지 트리의 인터레잉잉 거리 간의 동치성을 활용하여 알고리즘 결과를 전이하는 것.
• 이중 탐색을 안내하기 위해 모든 메르지 트리 루트 쌍으로부터 유도되는 O(n⁴)개의 임계 δ 값들을 정렬하고 열거하는 것.
• 최종 매개변수 τ′을 τδ와 τ₂δ를 포함하는 부등호 체인을 통해 유계화함으로써 시간 복잡도가 매개변수 τ에 대해 FPT 유지되도록 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정 매개변수 다항식 시간(FPT) 알고리즘을 사용하여 메트릭 트리 간의 Gromov-Hausdorff 거리를 일정한 승수 요인 이내에서 근사화할 수 있는가?
• RQ2 Gromov-Hausd오르프 거리와 메르지 트리의 인터레잉잉 거리 사이에 의미 있는 연결 고리가 존재하는가? 이 연결 고리는 알고리즘 전이를 가능하게 하는가?
• RQ3 인터레잉잉 거리를 동적 프로그래밍을 지원하고 정확한 FPT 계산으로 이어지는 방식으로 재정의할 수 있는가?
• RQ4 새로운 인터레잉잉 거리의 정의는 근사화가 NP-난이도임에도 불구하고, 매개변수 τ에 대해 FPT 시간 복잡도를 보장하는가?
• RQ5 인터레잉잉 거리에 대한 FPT 알고리즘을 활용하여 Gromov-Hausdorff 거리에 대해 유계 근사 요인을 갖는 FPT 근사 알고리즘을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 두 메트릭 트리 간의 Gromov-Hausdorff 거리를 승수 요인 14 이내에서 근사화하는 FPT 알고리즘을 제시한다.
• 이 알고리즘은 메르지 트리 간의 인터레잉잉 거리를 재정의함으로써 동적 프로그래밍을 가능하게 하고, 메르지 트리 간의 인터레잉잉 거리를 정확하게 계산하는 데에 사용되는 FPT 알고리즘을 기반으로 한다.
• 알고리즘의 시간 복잡도는 O(n² 2^τ̂ τ̂^{τ̂+2} log³n)이며, 여기서 τ̂ = 2τ̂₂₈δ*이고, τ̂₂₈δ*는 최적의 인터레잉잉 거리에서 유도된 매개변수이다.
• 저자들은 두 메르지 트리 T₁^{fu}와 T₂^{gw} 간의 인터레잉잉 거리가 14δ* 이하로 유계됨을 증명한다. 여기서 δ*는 최적의 Gromov-Hausdorff 거리이다.
• 모든 O(n²) 루트 쌍에 대한 브루트 포스 계산을 피하기 위해, 임계 δ 값과 τ 값에 대한 이중 이진 탐색을 사용함으로써 검색 공간을 크게 줄이는 것.
• 이 작업은 상위 데이터 분석에서 중요한 두 거리 척도인 Gromov-Hausdorff 거리와 인터레잉잉 거리 사이에 이론적 다리를 구축하며, 새로운 알고리즘 개발을 가능하게 한다.