[논문 리뷰] From Anderson localization on Random Regular Graphs to Many-Body localization

K. S. Tikhonov, A. D. Mirlin|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 11.

Quantum many-body systems참고 문헌 122인용 수 103

한 줄 요약

이 논문은 무작위 정규 그래프(RRG)에서의 앤더슨 국소화와 불순물이 있는 양자 시스템에서의 다체 국소화(MBL) 간의 깊은 연결을 수립한다. 짧은 범위 및 거듭제곱 법칙 상호작용을 갖는 MBL 모델을 RRG에 매핑함으로써, 양자역학적 비에르고닉한 국소화 단계, 국소화 임계점, 분수적 고유상태 스케일링, 거듭제곱 법칙에 따른 동적 상관관계 등 핵심적 특성이 양쪽 모두에서 나타남을 보여주며, Fock 공간의 단순화된 만능 모델임에도 불구하고 MBL 전이를 이해하는 데 통합된 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

The article reviews the physics of Anderson localization on random regular graphs (RRG) and its connections to many-body localization (MBL) in disordered interacting systems. Properties of eigenstate and energy level correlations in delocalized and localized phases, as well at criticality, are discussed. In the many-body part, models with short-range and power-law interactions are considered, as well as the quantum-dot model representing the limit of the "most long-range" interaction. Central themes -- which are common to the RRG and MBL problems -- include ergodicity of the delocalized phase, localized character of the critical point, strong finite-size effects, and fractal scaling of eigenstate correlations in the localized phase.

연구 동기 및 목표

• 논문은 무작위 정규 그래프(RRG)에서의 앤더슨 국소화와 불순물이 있는 상호작용 시스템에서의 다체 국소화(MBL) 간의 관계를 명확히 하기 위한 것이다.
• 저자들은 RRG와 MBL 모델 간에 공통된 물리적 특성—특히 국소화된 상태에서의 에르고딕성, 임계점의 국소화 성격, 분수적 고유상태 스케일링—을 규명하고자 한다.
• 저자들은 RRG 모델이 MBL를 연구하는 데 유용한 해석 가능한 만능 모델이 될 수 있음을 보여주고자 한다. 이는 단순화된 구조에도 불구하고 필수적인 임계 행동을 잘 반영하고 있음을 시사한다.
• 저자들은 MBL 시스템에서 다양한 상호작용 유형(짧은 범위, 거듭제곱 법칙, 긴 범위)이 RRG 프레임워크에 어떻게 매핑되는지 조사하며, 역참조 참여 비율(IPR)과 수준 통계와 같은 핵심 관측량이 보이는 유니버설 스케일링 여부를 검토한다.

제안 방법

• 저자들은 특히 국소화 전이와 임계 행동을 중심으로 하여, RRG에서의 앤더슨 국소화를 기술하기 위해 장 이론적 방법을 사용한다.
• 역참조 참여 비율(IPR), 고유함수 상관관계, 복귀 확률 등의 도구를 사용하여 고유상태 및 에너지 수준 통계를 분석한다.
• MBL 시스템의 경우, 세 가지 유형을 고려한다: 장거리 상호작용을 나타내는 양자점 모델, 1 < α < 2 인 거듭제곱 법칙 상호작용 모델, 그리고 짧은 범위 상호작용 모델(예: 스핀 체인).
• 해석적 스케일링 추론을 통해 MBL 전이의 행동을 예측하며, 이는 임계 불순물 강도 Wc와 국소화된 상태에서의 IPR 스케일링을 포함한다.
• 수치적 정확 대각화(ED)를 통해 분석 예측을 검증하며, 특히 무작위 자기장이 있는 1차원 스핀 체인과 거듭제곱 법칙 상호작용에 대해 적용한다.
• RRG와 MBL 시스템 간의 고유상태 동적 상관관계(β(ω))를 비교하여, 국소화된 상태에서의 유니버설 거듭제곱 법칙 스케일링이 나타남을 밝혀낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 RRG 모델이 불순물이 있는 양자 시스템에서의 다체 국소화의 임계 행동을 어느 정도 잘 반영하는가?
• RQ2 MBL 시스템의 국소화된 상태에서 고유상태 상관관계와 역참조 참여 비율(IPR)은 어떻게 스케일링되는가? RRG와의 비교는 어떠한가?
• RQ3 희귀 영역과 스펙트럼 확산은 MBL 전이에 어떤 역할을 하는가? 유한한 크기 시스템에서의 스케일링에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 짧은 범위 및 거듭제곱 법칙 상호작용을 갖는 MBL 모델에서 임계 불순물 강도 Wc는 시스템 크기 L에 따라 어떻게 스케일링되는가? 열역학적 극한에서 유한한 값으로 수렴하는가?
• RQ5 고유상태의 동적 상관관계 β(ω)가 RRG와 MBL 시스템 모두에서 유니버설 거듭제곱 법칙 스케일링을 보이는가?

주요 결과

• RRG와 MBL 시스템의 국소화되지 않은 상태에서 모두 에르고딕성이 확인되었으며, 이는 RRG의 경우 P2 ∼ N^0, MBL의 짧은 범위 또는 거듭제곱 법칙 상호작용의 경우 P2 ∼ N^0 로서 IPR 스케일링을 통해 입증된다.
• RRG와 MBL 시스템의 임계점 모두가 국소화되어 있으며, 임계 불순물 강도 Wc가 시스템 크기 L에 따라 느리게 증가함을 확인하였다. 이는 로그 또는 거듭제곱 법칙보다 느린 의존성과 일치한다.
• 짧은 범위 또는 거듭제곱 법칙 상호작용을 갖는 MBL 시스템의 국소화된 상태에서 IPR는 P2 ∼ N^{-τ(W)} 로 스케일링되며, τ(W) ∼ 1/W 로서 희귀 공명에 의한 다중분수적 고유상태 구조를 나타낸다.
• 거리에 따라 거듭제곱 법칙 상호작용을 갖는 MBL 시스템(d < α < 2d)에서, 임계 불순물 강도 Wc(L)는 RRG 매핑에 의해 예측된 바와 같이 스케일링되며, 수치 결과는 Wc(L)의 분석적 스케일링과 국소화된 상태의 에르고딕성을 확인한다.
• RRG와 MBL 시스템(예: 스핀 체인)의 동적 상관관계 β(ω)는 국소화된 상태에서 거듭제곱 법칙 스케일링 β(ω) ∝ ω^{-μ(W)} 를 보이며, 이는 불순물 강도에 따라 변하는 지수 μ(W)를 갖는다. 이는 RRG에서 관찰되는 동일한 행동을 반영한다.
• Hilbert 공간의 구조적 차이와 RRG에서 희귀 에르고딕 영역의 부재에도 불구하고, 이 모델은 MBL의 핵심 물리적 특성—임계성과 고유상태 통계—을 잘 반영하고 있어, MBL 전이를 이해하는 데 있어 귀중한 만능 모델이 된다.