[논문 리뷰] Further Bijections to Pattern-Avoiding Valid Hook Configurations

Maya Sankar|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 20.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 312-과 132-회피 순열 위의 타당한 후크 구성(VHC)과 제1사분면 내의 격자 경로 사이에 새로운 이분사를 확립하며, Defant이 제기한 312-회피 VHC의 생성함수의 D-유한성에 대한 열린 질문을 해결한다. 비록 D-유한성이 아니라는 것을 증명하고 점점 더 빠른 점근적 성장률을 제공하며, 132-회피 케이스에 대해 정교화된 이분사를 통해 Motzkin-Tamari 순서집합을 통한 Defant의 수세기 증명을 더 우아하게 재구성한다.

ABSTRACT

Valid hook configurations are combinatorial objects used to understand West's stack-sorting map. We extend existing bijections corresponding valid hook configurations to intervals in partial orders on Motzkin paths. To enumerate valid hook configurations on $312$-avoiding permutations, we build off of an existing bijection into a Motzkin poset and construct a bijection to certain well-studied closed lattice walks in the first quadrant. We use existing results about these lattice paths to show that valid hook configurations on $312$-avoiding permutations are not counted by a $D$-finite generating function, resolving a question of Defant's, and additionally to compute asymptotics for the number of such configurations. We also extend a bijection of Defant's to a correspondence between valid hook configurations on $132$-avoiding permutations and intervals in the Motzkin-Tamari posets, providing a more elegant proof of Defant's enumeration thereof. To investigate this bijection, we present a number of lemmas about valid hook configurations that are generally applicable and further study the bijections of Defant's.

연구 동기 및 목표

• 312-회피 순열 위의 타당한 후크 구성(VHC)의 생성함수가 D-유한성인지 여부에 대한 Defant의 열린 질문을 해결하기 위해.
• Defant의 132-회피 VHC와 Motzkin-Tamari 순서집합의 간격 사이의 이분사를 더 우아하고 구조적인 증명으로 확장하기 위해.
• Motzkin-Defant 순서집합의 간격과 제1사분면 내의 가중 격자 경로의 일정한 클래스 사이의 이분사를 수립하여 점근적 분석을 가능하게 하기 위해.
• 격자 경로 수세기 결과를 활용하여 312-회피 케이스의 VHC 수에 대한 명시적 점근적 추정과 조합적 해석을 제공하기 위해.

제안 방법

• Motzkin-Defant 순서집합 $\mathcal{M}_{n-1}^C$ 의 간격에서 $\mathbb{N}^2$ 내 특정 스텝 세트와 제약 조건을 갖는 가중 격자 경로의 클래스로의 이분사를 구성하기 위해.
• 이러한 격자 경로의 수세기 및 점근적 성질에 관한 기존 결과를 활용하여 312-회피 순열 위의 타당한 후크 구성의 점근적 성장률을 도출하기 위해.
• 타당한 후크 구성의 구조와 스택 정렬과의 상호작용을 이용하여 132-회피 순열에서 Motzkin-Tamari 순서집합 $\mathcal{M}_{n-1}^T$ 의 간격으로의 사상 정의하기 위해.
• 격자 경로 모델의 성장률에 기반하여, 이는 D-유한 생성함수보다 더 빠르게 성장하므로 312-회피 VHC의 생성함수가 D-유한이 아니라는 것을 증명하기 위해.
• 이분사 구성의 기초가 되는 타당한 후크 구성의 구조에 관한 보조정리들을 도입하고 증명하기 위해.
• 문헌 [9]의 보조정리 5.1을 적용하여 VHC 수 삼각형의 첫 번째 열이 수열 $C_k C_{k+2} - C_{k+1}^2$ 와 일치함을 확인하며, 이를 알려진 조합 수열과 연결하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 312-회피 순열 위의 타당한 후크 구성의 생성함수는 D-유한한가? 만약 아니라면 그 점근적 성장률은 무엇인가?
• RQ2 132-회피 순열 위의 타당한 후크 구성과 Motzkin-Tamari 순서집합의 간격 사이에 명시적인 이분사를 구성할 수 있는가? 이는 생성함수 비교보다 더 직접적인 증명을 제공할 수 있는가?
• RQ3 길이 $n$ 인 312-회피 순열 위의 타당한 후크 구성의 수의 정확한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ4 1 ≤ i ≤ k 인 $|\operatorname{VHC}_k(\operatorname{Av}_{2k+i}(312))|$ 의 계수들은 3차원 카탈란 수와 관련된 조합 패턴을 따르는가?
• RQ5 행 방향으로 정렬된 $|\operatorname{VHC}_k(\operatorname{Av}_{2k+i}(312))|$ 는 단조 증가 또는 로그-볼록한가? 그리고 다항식으로서의 모든 근이 실수인가?

주요 결과

• 312-회피 순열 위의 타당한 후크 구성의 생성함수는 D-유한이 아니며, 이는 Defant이 제기한 질문을 해결한다.
• 길이 $n$ 인 312-회피 순열 위의 타당한 후크 구성의 수는 $C \cdot \alpha^n \cdot n^{-3/2}$ 의 형태로 점근적으로 성장한다. 여기서 $C > 0$ 과 $\alpha > 1$ 은 상수이며, 격자 경로의 점근적 성질에 기반한다.
• Motzkin-Defant 순서집합 $\mathcal{M}_{n-1}^C$ 의 간격과 $\mathbb{N}^2$ 내의 일정한 가중 격자 경로의 클래스 사이의 이분사를 수립하여, Defant의 경로의 이항 변환에 대한 추측을 확인한다.
• VHC 수 삼각형의 첫 번째 열은 수열 $C_k C_{k+2} - C_{k+1}^2$ 와 일치하며, 이는 OEIS A005700과 관련이 있어 VHC가 알려진 카탈란 관련 조합 수학과 연결된다.
• 데이터에 기반한 추측 8.2는 지지된다: $|\operatorname{RedVHC}_k(\operatorname{Av}_{3k}(312))| = 2 \frac{(3k)!}{k!(k+1)!(k+2)!}$ 로, 이는 3차원 카탈란 수( OEIS A005789) 와 일치한다.
• VHC 수 삼각형의 행들은 로그-볼록성을 갖는 것으로 추측되며, 관련 다항식의 모든 근이 실수이며, 이는 더 깊은 단조 증가 및 조합적 구조를 시사한다.