[논문 리뷰] Further Results on Cauchy Tensors and Hankel Tensors

Haibin Chen, Guoyin Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 27.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 코시 텐서를 도입하고, 양의 준정부호 코시 텐서가 SOS(제곱합) 텐서이자 완전히 양의 텐서임을 증명하며, 이는 비음수 랭크-1 텐서의 분해로 이루어질 수 있음을 의미한다. 또한 짝수 차수의 코시-한켈 텐서가 그 생성 매개변수들이 특정 양의 조건을 만족할 때이고 그때에만 양의 정부호임을 증명하고, 한켈 텐서의 양의 준정부호성과 관련 평면 텐서 및 SOS 성질 사이의 연관성을 랭크 제약 조건 하에서 연결한다.

ABSTRACT

In this article, we present various new results on Cauchy tensors and Hankel tensors. { We first introduce the concept of generalized Cauchy tensors which extends Cauchy tensors in the current literature, and provide several conditions characterizing positive semi-definiteness of generalized Cauchy tensors with nonzero entries.} As a consequence, we show that Cauchy tensors are positive semi-definite if and only if they are SOS (Sum-of-squares) tensors.} Furthermore, we prove that all positive semi-definite Cauchy tensors are completely positive tensors, which means every positive semi-definite Cauchy tensor can be decomposed { as} the sum of nonnegative rank-1 tensors. We also establish that all the H-eigenvalues of nonnegative Cauchy tensors are nonnegative. Secondly, we present new mathematical properties of Hankel tensors. { We prove that an even order Hankel tensor is Vandermonde positive semi-definite if and only if its associated plane tensor is positive semi-definite. We also show that, if the Vandermonde rank of a Hankel tensor $\mathcal{A}$ is less than the dimension of the underlying space, then positive semi-definiteness of $\mathcal{A}$ is equivalent to the fact that $\mathcal{A}$ is a complete Hankel tensor, and so, is further equivalent to the SOS property of $\mathcal{A}$. Lastly, we introduce a new structured tensor called Cauchy-Hankel tensors, which is a special case of Cauchy tensors and Hankel tensors simultaneously.} Sufficient and necessary conditions are established for an even order Cauchy-Hankel tensor to be positive definite. Final remarks are listed at the end of the paper.

연구 동기 및 목표

• 비영인 성분을 가진 일반화된 코시 텐서를 도입하여 코시 텐서 이론을 확장한다.
• 일반화된 코시 텐서의 양의 준정부호성과 완전 양의 성질을 특성화한다.
• 짝수 차수의 코시 텐서에 대해 양의 준정부호성, SOS 성질, 완전 양의 성질 간의 등가성을 확립한다.
• 한켈 텐서의 양의 준정부호성과 관련 평면 텐서 사이의 관계를 조사하며, 특히 반데르몬드 랭크 제약 조건 하에서 분석한다.
• 코시-한켈 텐서를 정의하고 분석하여 그 양의 정부호성에 대한 필요 및 충분 조건을 수립한다.

제안 방법

• 특정 함수 형태를 가진 생성 벡터를 사용하여 표준 코시 텐서의 확장으로 일반화된 코시 텐서를 도입한다.
• 대수적 텐서 분해와 정부호성 분석을 활용하여, 양의 준정부호 코시 텐서가 SOS 텐서임을 증명한다.
• 비음수 랭크-1 분해를 갖는다는 것을 보여줌으로써, 짝수 차수의 코시 텐서가 완전히 양의 텐서임을 증명한다.
• 반데르몬드 구조를 갖는 관련 평면 텐서를 통해 한켈 텐서를 정의하고 분석하며, 양의 준정부호성과 평면 텐서 성질 간의 연관성을 연결한다.
• 코시와 한켈의 구조를 융합한 하이브리드 클래스인 코시-한켈 텐서를 도입하고, 매개변수 기반의 양의 정부호성 조건을 유도한다.
• 동차 다항식의 단조성 분석을 적용하여, 양의 부정부호성의 특성을 정의하는 데 있어 양의 부등식 영역 내의 엄격한 단조성에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비영인 성분을 가진 일반화된 코시 텐서가 양의 준정부호가 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 모든 양의 준정부호 코시 텐서는 SOS 텐서 또는 완전히 양의 텐서와 등가인가?
• RQ3 짝수 차수의 한켈 텐서의 양의 준정부호성과 그 관련 평면 텐서의 양의 준정부호성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 한켈 텐서의 양의 준정부호성이 언제 완전한 한켈 텐서 또는 SOS 텐서와 등가가 되는가?
• RQ5 짝수 차수의 코시-한켈 텐서가 양의 정부호가 되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 양의 준정부호 코시 텐서는 SOS 텐서이며, 이는 동차 다항식의 제곱합으로 표현될 수 있음을 의미한다.
• 짝수 차수의 코시 텐서는 그것이 비음수 랭크-1 텐서의 합으로 분해될 수 있을 때이고 그때에만 양의 준정부호이다.
• 비음수 코시 텐서의 모든 H-고유값은 음이 아니며, 이는 스펙트럼의 비음성함을 확인한다.
• 짝수 차수의 한켈 텐서는 그 관련 평면 텐서가 양의 준정부호일 때이고 그때에만 반데르몬드 양의 준정부호이다.
• 한켈 텐서의 반데르몬드 랭크가 기본 공간의 차원보다 작을 경우, 그 양의 준정부호성은 그것이 완전한 한켈 텐서이자 SOS 텐서임과 등가가 된다.
• 짝수 차수의 코시-한켈 텐서는 매개변수들이 $ g + mh > 0 $ 및 $ g + nmh > 0 $ 를 만족할 때이고 그때에만 양의 정부호이다.