[논문 리뷰] (G, \mu)-displays and Rapoport-Zink spaces

Oliver Bueltel, G. Pappas|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 01.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Zink의 월 벡터 디스플레이의 군론적 일반화인 $(G,\mu)$-디스플레이를 도입하여, $p$-나누어지지 않는 군에 의존하지 않고 약간의 재정의된 군과 공표자에 의해 순수하게 리드카르트 군과 공표자에 의존하는 라포포르트-징 형식 스킴을 구성한다. 주요 기여는 이러한 형식 스킴이 $p$-진 국소 셰이머 바리에터티의 정수 모델로서의 표현 가능성에 대한 추측적이고 부분적으로 증명된 성질을 갖는 것으로, 특히 허드지 유형의 경우에 해당한다.

ABSTRACT

Let (G, \\mu) be a pair of a reductive group G over the p-adic integers and a minuscule cocharacter {\\mu} of G defined over an unramified extension. We introduce and study "(G, \\mu)-displays" which generalize Zink's Witt vector displays. We use these to define certain Rapoport-Zink formal schemes purely group theoretically, i.e. without p-divisible groups.

연구 동기 및 목표

• $p$-나누어지지 않는 군에 의존하지 않고 리드카르트 군 $G$와 최소공표자 $\mu$를 이용해 라포포르트-징 형식 스킴을 순수하게 군론적으로 구성하는 것.
• 재정의된 군 스킴에 대한 $G$-터소르와 루프 군의 구조를 통해 Zink의 디스플레이 이론을 $\mathbb{Z}_p$ 위의 재정의된 군 스킴로 일반화하는 것.
• $p$-널프레센트 대수 위에서 정의된 함자 ${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$를 정의하여, 이는 초특수 수준에서 국소 셰이머 바리에터티의 정수 모델로 추측되며, 이를 증명하는 것.
• 국소 셰이머 자료가 허드지 유형일 경우, 즉 $\mathrm{GL}_n$에 임bed 가능할 경우, 이 함자가 형식 스킴으로 표현 가능하다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 분할된 프로베니우스 사상 $\Phi_{G,\mu}: H^\mu \to L^+G_{W(k_0)}$를 정의하며, 이는 $\mu^\sigma(p)$에 의한 콜레주션과 월 벡터의 프로베니우스에 의해 정의된다.
• $G$-터소르 $P$, $H^\mu$-터소르 $Q$, 그리고 $\Phi_{G,\mu}$에 호환되는 사상 $u: Q \to P$로 구성된 삼중조합 $(P, Q, u)$로 $(G,\mu)$-디스플레이를 정의한다.
• $[L^+G_{W(k_0)} /_{\Phi_{G,\mu}} H^\mu]$의 몫 스택을 사용하여 $(G,\mu)$-디스플레이를 매개화하며, 이는 디스플레이의 모듈리 공간을 일반화한다.
• $\sigma$-동치류 $[b]$와 관련된 추가 구조를 가진 $(G,\mu)$-디스플레이의 모듈리 공간을 통해 $p$-널프레센트 대수 위에서 함자 ${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$를 구성한다.
• 변형 이론과 업그레이드 기법을 적용하여 모듈리 함자의 국소 구조를 연구한다.
• 국소 셰이머 자료가 허드지 유형일 경우, $\mathrm{GL}_n$ 경우로의 환원 기법을 사용하여 ${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$의 표현 가능성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라포포르트-징 형식 스킴은 $p$-나누어지지 않는 군에 대한 언급 없이 순수하게 군론적으로 정의될 수 있는가?
• RQ2 Zink의 디스플레이 이론은 $G$-터소르와 루프 군의 구조를 통해 재정의된 군 스킴에 대해 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 $\sigma$-동치류 $[b]$와 $(G,\mu)$-디스플레이를 통해 정의된 함자 ${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$는 형식 스킴으로 표현 가능한가?
• RQ4 추가 구조를 가진 $(G,\mu)$-디스플레이의 모듈리 공간이 형식 스킴이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 함자 ${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$의 구성은 허드지 유형의 경우 $p$-진 국소 셰이머 바리에터티의 정수 모델을 제공하는가?

주요 결과

• 논문은 $p$-나누어지지 않는 군에 의존하지 않고 $(G,\mu)$-디스플레이를 통해 라포포르트-징 형식 스킴을 군론적으로 정의한다.
• 분할된 프로베니우스 $\Phi_{G,\mu}$는 $G(W(R)[1/p])$ 내에서 $\Phi_{G,\mu}(h) = \mu^\sigma(p) \cdot F(h) \cdot \mu^\sigma(p)^{-1}$로 정의되며, 이는 디스플레이 이론의 핵심적 구조를 제공한다.
• 함자 ${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$는 초특수 수준에서 국소 셰이머 바리에터티의 정수 모델로 표현 가능하다는 추측이 제기되며, 이를 증명한다.
• 허드지 유형의 경우, 임베딩 기법을 사용하여 $\mathrm{GL}_n$의 경우로 환원함으로써 ${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$의 표현 가능성을 증명한다.
• 이 이론은 리드카르트 군의 표현 이론과 라포포르트-징 공간의 기하학 사이의 직접적인 연결 고리를 $W(R)$ 위의 $G$-터소르를 통해 수립한다.
• 논문은 거의 프로베니우스 분리 대수에서의 아이디포턴트이고 유계된 널프레센트 이상의 이상이 자명하다는 것을 증명하며, 이는 표현 가능성 증명에 사용되는 기술적 결과이다.