[논문 리뷰] Global Solution to a Nonlinear Fractional Differential Equation for the Caputo-Fabrizio Derivative

Sabrina Roscani, Domingo A. Tarzia외 1명|Conicet|2018. 09. 06.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비선형 분수차분 미분방정식의 전역 해의 존재성과 유일성을 캐프투-파브리츠료 도함수를 사용하여 입증한다. 이 도함수의 핵심은 비특이 지수 함수 커널을 지닌다. 라이프시츠 조건을 만족하는 $ L < \frac{1}{1-\alpha} $ 하에서, 수렴성 원리를 반복 적용하여 국소 해를 전역 해로 확장함으로써, 저자들은 모든 시간에 대해 해가 존재함을 증명한다. 이와 동시에 $ \alpha \nearrow 1 $ 일 때 해는 고전적 첫 번째 도함수로 수렴한다. 분석 과정에서는 멱함수, 삼각함수, 지수함수의 도함수에 대해 미타그-레플레르 함수를 사용한 명시적 계산이 포함되어 있다.

ABSTRACT

This paper deals with the fractional Caputo--Fabrizio derivative and some basic properties related. A computation of this fractional derivative to power functions is given in terms of Mittag--Lefler functions. The inverse operator named the fractional Integral of Caputo--Fabrizio is also analyzed. The main result consists in the proof of existence and uniqueness of a global solution to a nonlinear fractional differential equation, which has been solved previously for short times by Lozada and Nieto (Progr. Fract. Differ. Appl., 1(2):87--92, 2015). The effects of memory as well as the convergence of the obtained results when $\al earrow 1$ (and the classical first derivative is recovered) are analyzed throughout the paper.

연구 동기 및 목표

• 비선형 분수차분 미분방정식에 대해 캐프투-파브리츠료 도함수를 포함하는 전역 해의 존재성과 유일성을 입증하는 것.
• 캐프투-파브리츠료 도함수가 $ \alpha \nearrow 1 $ 일 때의 행동을 분석하여 고전적 첫 번째 도함수로 수렴함을 보이는 것.
• 멱함수, 사인,余현, 지수함수의 캐프투-파브리츠료 도함수에 대한 명시적 공식을 미타그-레플레르 함수로 제시하는 것.
• 캐프투-파브리츠료 도함수에 내재된 기억 효과를 조사하며, 특히 함수의 전체 역사에 대한 국소적이지 않은 의존성을 다루는 것.
• 이전에 알려진 국소 해를 반복적으로 연속된 시간 간격에서의 하위 문제를 푸는 방식으로 전역 해로 확장하는 것.

제안 방법

• 저자들은 비특이 지수 함수 커널을 지닌 캐프투-파브리츠료 도함수를 사용한다: $ {}^{CF}D^\alpha f(t) = \frac{1}{1-\alpha} \int_0^t f'(\tau) e^{-\frac{\alpha(t-\tau)}{1-\alpha}} d\tau $.
• 멱함수 $ t^n $, 사인함수 $ \sin(at) $,余현함수 $ \cos(at) $, 지수함수 $ e^{bt} $의 도함수에 대해 미타그-레플레르 함수를 사용한 명시적 표현을 유도한다.
• 해의 틀을 뒷받침하기 위해 캐프투-파브리츠료 분수적 적분의 역연산자에 대해 분석한다.
• 수렴성 원리를 반복적으로 적용하여 연속된 시간 간격 $[T_k, T_{k+1}]$ 에서 국소 해를 전역 해로 확장한다.
• 메모리 효과를 반영하기 위해 소스 항을 수정한 형태의 하위 문제 $ {}^{CF}D^\alpha f(t) = \Phi_k(t, f(t)) $ 를 풀어 해를 구성한다.
• 해의 전역 존재성은 조건 $ L < \frac{1}{1-\alpha} $ 하에서 확립되며, 이 조건은 각 단계에서 수렴성 원리가 적용됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캐프투-파브리츠료 도함수를 포함하는 비선형 분수차분 미분방정식에 대해, 국소 해가 존재할 경우 전역 해가 존재하는가?
• RQ2 캐프투-파브리츠료 도함수는 $ \alpha \nearrow 1 $ 일 때 어떻게 행동하는가? 그리고 고전적 첫 번째 도함수로 수렴하는가?
• RQ3 멱함수 $ t^n $, 사인함수 $ \sin(at) $, 여현함수 $ \cos(at) $, 지수함수 $ e^{bt} $와 같은 기본 함수의 캐프투-파브리츠료 도함수는 미타그-레플레르 함수로 표현될 수 있는가?
• RQ4 캐프투-파브리츠료 도함수에서 기억의 역할은 무엇이며, 이는 해를 구하기 위해 필요한 초기 조건에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 어떤 조건에서 국소 해는 $ \mathbb{R}^+ $ 전역에서 전역 해로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 비선형 분수차분 미분방정식 $ {}^{CF}D^\alpha f(t) = \varphi(t, f(t)) $ 의 전역 해는 존재하고 유일하며, $ \varphi $ 의 라이프시츠 상수 $ L $ 이 $ L < \frac{1}{1-\alpha} $ 를 만족할 경우에 성립한다.
• 해는 시간 간격 $[T_k, T_{k+1}]$ 에서 하위 문제를 반복적으로 풀어 구성되며, $ T_{k+1} - T_k < \frac{1 - (1-\alpha)L}{\alpha L} $ 를 만족함으로써 각 단계에서 수렴성이 보장된다.
• $ \alpha \nearrow 1 $ 일 때 캐프투-파브리츠료 도함수는 점별로 고전적 첫 번째 도함수로 수렴하며, 이에 따라 해는 고전적 ODE의 해로 수렴한다.
• 캐프투-파브리츠료 연산자 하에서 $ t^n $ 의 도함수는 명시적으로 계산된 미타그-레플레르 함수의 조합으로 표현된다.
• $ \sin(at) $, $ \cos(at) $, $ e^{bt} $ 의 도함수 역시 미타그-레플레르 함수로 표현되었으며, 이는 이 연산자가 기본 함수에 대해 해석 가능함을 보여준다.
• 기억 효과는 해의 구성 과정에서 뚜렷하게 드러난다: 각 하위 문제의 초기 조건은 경계 값뿐 아니라 이전 시간 포인트까지의 전체 역사를 반영한다.