[논문 리뷰] Goldstone bosons in the massless Thirring model. Witten's criterion

M. Faber, A. N. Ivanov|ArXiv.org|2003. 05. 20.

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 질량이 없고 스칼라(양성자)장의 양자들이 질량이 없는 티링 모형에서 카이랄 대칭 깨짐 단계에서 페르미온 이론을 보손화함으로써 위튼의 골드스톤 보손 기준을 만족함을 보여준다. 저자들은 이러한 양자들이 저에너지 정리와 약축-벡터 전류의 워드 항등식을 비자명하게 충족시키는 데 유일하게 기여하므로, 양자장 이론 프레임워크에서 적외색 발산이 없음에도 불구하고 이들이 골드스톤 보손임을 확인한다.

ABSTRACT

We discuss the Ward identity and the low-energy theorem for the divergence of the axial-vector current in the massless Thirring model with fermion fields quantized in the chirally broken phase (Eur. Phys. J. C20, 723 (2001)). The Ward identity and the low-energy theorem are analysed in connection with Witten's criterion for Goldstone bosons (Nucl. Phys. B145, 110 (1978)). We show that the free massless (pseudo)scalar field bosonizing the massless Thirring model in the chirally broken phase satisfies Witten's criterion to interpret quanta of this field as Goldstone bosons. As has been shown in hep-th/0210104 and hep-th/0212226, Goldstone's criterion, the non-invariance of the wave function of the ground state, is also fulfilled.

연구 동기 및 목표

• 질량이 없는 (양성자) 스칼라 보손이 질량이 없는 티링 모형에 존재하는 것과 1+1차원에서의 자발적 대칭 깨짐에 관한 콜먼 정리 사이의 명백한 모순을 해결하는 것.
• 자유 질량이 없는 (양성자) 스칼라 장의 양자들이 위튼의 골드스톤 보손 기준을 만족하는지 확인하는 것. 이 기준은 그 기여가 워드 항등식과 저에너지 정리를 충족시키는 데 필수적이어야 한다는 것을 요구한다.
• 카이랄 대칭 깨짐 단계에서 동적 페르미온 질량을 생성하는 갭 방정식과 축-벡터 전류의 발산에 대한 저에너지 정리 사이의 일관성을 확립하는 것.
• 자기장 $\vartheta(x)$ 에 기반한 질량이 없는 (양성자) 스칼라 장의 양자장 이론이 슈바르츠 클래스에서 정의되고 0번 푸리에 모드를 가진 경우 적외색 발산을 피하고 수학적으로 일관되게 유지됨을 보여, 콜먼 정리의 영향을 피하는 것.

제안 방법

• 질량이 없는 티링 모형에서 축-벡터 전류의 발산에 대한 워드 항등식과 저에너지 정리를 유도하며, 카이랄 대칭 단계와 카이랄 대칭 깨짐 단계를 구분한다.
• 보손화 맵을 사용하여 카이랄 대칭 깨짐 단계의 페르미온 이론을 자유 질량이 없는 (양성자) 스칼라 장 이론으로 표현하며, 이 장 $\vartheta(x)$ 는 골드스톤 모드를 묘사한다.
• 위튼의 기준을 적용하여 $\vartheta(x)$ 의 양자들이 워드 항등식과 저에너지 정리에 비자명하게 기여하는지 분석한다. 특히 축-벡터 전류가 보존되지 않을 경우에 주목한다.
• 웨이트만의 관측량을 사용하여 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ 부분공간에서 정의된 $\vartheta(x)$ 의 양자장 이론을 구성한다. 여기서 $\tilde{h}(0) = 0$ 이며, 이는 적외색 발산을 피하고 내적의 양성도를 보장한다.
• 저에너지 정리와 갭 방정식 사이의 일관성을 검증하기 위해, 캄렌-레히만 스펙트럼 함수 $\rho_2(m^2)$ 가 일관성을 위해 $M\delta(m^2 - M^2)$ 여야 한다는 것을 보여준다.
• 기저 상태 파동함수의 카이랄 대칭에 대한 비불변성을 확인함으로써 골드스톤 기준을 만족시키며, 진공 기대값 $\langle \cos\beta\vartheta(0) \rangle = 1$ 이 비영인 페르미온 콘덴세이트 $\langle \bar{\psi}\psi \rangle = -M/g$ 를 암시함을 보여, 자발적 카이랄 대칭 깨짐을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 질량이 없는 티링 모형에서 자유 질량이 없는 (양성자) 스칼라 장의 양자들이 위튼의 골드스톤 보손 기준을 만족하는가?
• RQ2 축-벡터 전류의 저에너지 정리와 워드 항등식이 1+1차원 양자장 이론의 제약을 위반하지 않고서도 카이랄 대칭 깨짐 단계에서 비자명하게 충족될 수 있는가?
• RQ3 적외색 발산 없이 1+1차원에서 자유 질량이 없는 (양성자) 스칼라 장의 일관된 양자장 이론을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 질량이 없는 티링 모형에서 골드스톤 보손의 존재는 1+1차원에서 자발적 대칭 깨짐이 일어나지 않는다는 콜먼 정리와 호환되는가?
• RQ5 진공 기대값 $\langle \cos\beta\vartheta(0) \rangle$ 이 동적 페르미온 질량 생성과 갭 방정식과의 일관성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 자유 질량이 없는 (양성자) 스칼라 장 $\vartheta(x)$ 의 양자들은 카이랄 대칭 깨짐 단계에서 워드 항등식과 저에너지 정리에 비자명하게 기여하는 유일한 기여이므로 위튼의 골드스톤 보손 기준을 만족한다.
• 카이랄 대칭 단계에서는 워드 항등식이 $0=0$ 으로 간소화되지만, 카이랄 대칭 깨짐 단계에서는 축-벡터 전류의 발산이 $\vartheta(x)$ 장의 기여를 통해서만 비영이 되어 충족된다.
• 진공 기대값 $\langle \cos\beta\vartheta(0) \rangle = 1$ 이 비영이므로, 비영인 페르미온 콘덴세이트 $\langle \bar{\psi}\psi \rangle = -M/g$ 가 존재함을 의미하며, 자발적 카이랄 대칭 깨짐을 확인한다.
• 저에너지 정리와 갭 방정식 사이의 일관성을 확보하기 위해 캄렌-레히만 스펙트럼 함수 $\rho_2(m^2)$ 는 $M\delta(m^2 - M^2)$ 여야 하며, 이는 동적 질량 생성을 확인한다.
• $\vartheta(x)$ 의 양자장 이론은 관측량이 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ 에 정의될 경우 웨이트만의 공리계와 일관되며, 표준 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$ 표현에서 무효화되는 적외색 발산을 피한다.
• $\vartheta(x)$ 의 기저 상태 파동함수는 카이랄 대칭에 대해 불변이 아니며, 골드스톤 기준을 만족한다. 따라서 골드스톤과 위튼의 기준을 모두 충족함으로써 $\vartheta(x)$ 의 양자들이 골드스톤 보손으로 확인된다.