[논문 리뷰] Higher Hochschild cohomology, Brane topology and centralizers of $E_n$-algebra maps

Rafael J. L. Morcillo, Thomas Tradler외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 31.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 45인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 인코어드 $m$-차원 다양체 $M$에 대해, 요소화 호모로지와 고차 하이즈도프 코호몰로지(cohomology)를 이용하여, 사상 공간 $\mathrm{Map}(S^n, M)$의 이동된 정수 체인(chain)에 $E_{n+1}$-대수의 구조를 수립한다. 고차 델라인 추측을 증명하기 위해 $E_n$-하이즈도프 코호몰로지에 $E_{n+1}$-구조를 구성하고, 이를 $E_n$-대수 사상의 중심자와 동일시하며, 고차 $E_n$-대수의 반복 바(bar) 구조에 대한 요소화 대수 모델을 제공한다.

ABSTRACT

We use factorization homology and higher Hochschild (co)chains to study various problems in algebraic topology and homotopical algebra, notably brane topology, centralizers of $E_n$-algebras maps and iterated bar constructions. In particular, we obtain an $E_{n+1}$-algebra model on the shifted integral chains of the mapping space of the n-sphere into an orientable closed manifold $M$. We construct and use $E_\infty$-Poincaré duality to identify higher Hochschild cochains, modeled over the $n$-sphere, with the chains on the above mapping space, and then relate Hochschild cochains to the deformation complex of the $E_\infty$-algebra $C^*(M)$, thought of as an $E_n$-algebra. We invoke (and prove) the higher Deligne conjecture to furnish $E_n$-Hochschild cohomology, and all that is naturally equivalent to it, with an $E_{n+1}$-algebra structure. We prove that this construction recovers the sphere product. In fact, our approach to the Deligne conjecture is based on an explicit description of the $E_n$-centralizers of a map of $E_\infty$-algebras $f:A o B$ by relating it to the algebraic structure on Hochschild cochains modeled over spheres, which is of independent interest and explicit. More generally, we give a factorization algebra model/description of the centralizer of any $E_n$-algebra map and a solution of Deligne conjecture. We also apply similar ideas to the iterated bar construction. We obtain factorization algebra models for (iterated) bar construction of augmented $E_m$-algebras together with their $E_n$-coalgebras and $E_{m-n}$-algebra structures, and discuss some of its features. For $E_\infty$-algebras we obtain a higher Hochschild chain model, which is an $E_n$-coalgebra. In particular, considering an n-connected topological space $Y$, we obtain a higher Hochschild cochain model of the natural $E_n$-algebra structure of the chains of the iterated loop space of $Y$.

연구 동기 및 목표

• 향상된 $m$-차원 다양체 $M$에 대해, 사상 공간 $\mathrm{Map}(S^n, M)$의 이동된 정수 체인에 $E_{n+1}$-대수의 구조를 수립한다.
• 고차 하이즈도프 코호몰로지(cohomology)를 이용하여 $E_n$-대수 사상의 중심자에 대한 요소화 대수 모델을 제공한다.
• 고차 델라인 추측을 증명하기 위해 $E_n$-하이즈도프 코호몰로지에 $E_{n+1}$-대수의 구조를 구성한다.
• 반복 바 구조의 요소화 대수 모델을 제공하여, 이가 $E_n$-코알제브라와 $E_{m-n}$-대수의 구조를 지닌다.
• 고차 하이즈도프 코호몰로지가 $S^n$ 위에서 정의될 때, $E_\infty$-포incare 대칭을 통해 $C^*(M)$의 변형 복합체를 $E_n$-대수로 간주할 수 있음을 밝힌다.

제안 방법

• 요소화 호모로지와 고차 하이즈도프 (코)체인을 사용하여 사상 공간 $\mathrm{Map}(S^n, M)$의 코호몰로지를 모델링한다.
• $E_\infty$-포incare 대칭을 적용하여, $S^n$ 위에서 정의된 고차 하이즈도프 코호몰로지가 $\mathrm{Map}(S^n, M)$의 체인과 동치임을 확인한다.
• 명시적인 매개변수화된 요소화 대수의 구조를 이용하여 고차 델라인 추측을 통해 $E_n$-하이즈도프 코호몰로지에 $E_{n+1}$-대수의 구조를 구성한다.
• 고차 형식성과 탐킨의 호모토피 $P_{n+1}$-구조에 의존하여, $E_{n+1}$-구조에 대한 명시적 모델을 계산한다.
• 고차 $E_n$-대수의 반복 바 구조를 이용하여, $E_n$-코알제브라와 $E_{m-n}$-대수의 구조를 모두 지닌 요소화 대수 모델을 정의한다.
• 고차 $E_\infty$-대수의 $n$-연결된 공간에 적용하여, $C_*(\Omega^n Y)$의 고차 하이즈도프 코호몰로지 모델을 $E_n$-대수로 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 $E_\infty$-대수 사이의 사상에 대한 $E_n$-중앙자(centralizer)는 $S^n$ 위에서 정의된 고차 하이즈도프 코호몰로지로 모델링될 수 있는가?
• RQ2 고차 델라인 추측이 예측한 바와 같이, $E_n$-대수의 $E_n$-하이즈도프 코호몰로지가 자연스럽게 $E_{n+1}$-대수의 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ3 고차 $E_n$-대수의 반복 바 구조에 대한 요소화 대수 모델은 $E_n$-코알제브라와 $E_{m-n}$-대수의 구조를 동시에 지닐 수 있는가?
• RQ4 $E_\infty$-포incare 대칭은 $S^n$ 위에서의 고차 하이즈도프 코호몰로지와 $\mathrm{Map}(S^n, M)$의 체인 사이에 어떤 관계를 맺는가?
• RQ5 $E_n$-하이즈도프 코호몰로지에 정의된 $E_{n+1}$-구조는 스트링 토폴로지의 구면 곱과 동형인가?

주요 결과

• 모든 $m$-차원 향상된 다양체 $M$에 대해, 요소화 호모로지에 의해 $C_{\bullet+m}(\mathrm{Map}(S^n, M))$의 이동된 정수 체인이 자연스럽게 $E_{n+1}$-대수의 구조를 지닌다.
• $S^n$ 위에서 모델링된 고차 하이즈도프 코호몰로지는 $E_\infty$-포incare 대칭을 통해 $\mathrm{Map}(S^n, M)$의 체인과 준동치(quasi-isomorphic)이다.
• $E_n$-대수의 $E_n$-하이즈도프 코호몰로지는 $E_n$-대수의 구조 사상의 중심자와 동형이다.
• 매개변수화된 요소화 대수의 구조를 이용하여, 명시적인 $E_{n+1}$-대수의 구조를 $E_n$-하이즈도프 코호몰로지에 구성함으로써 고차 델라인 추측을 증명하였다.
• 증강된 $E_n$-대수의 반복 바 구조는 자연스럽게 $E_n$-코알제브라의 구조와 $E_{m-n}$-대수의 구조를 지니며, 명시적인 요소화 대수 모델이 구성되었다.
• $n$-연결된 공간 $Y$에 대해, $C^*(M)$의 고차 하이즈도프 코호몰로지 모델은 $E_n$-대수로서 $C_*(\Omega^n Y)$의 구조를 복원한다.