[논문 리뷰] High dimensional Hawkes processes

Sylvain Delattre, Nicolas Fournier외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 23.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 28인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 방향성 있는 그래프 위의 무한 네트워크로 다변량 하크스 과정을 일반화하며, 포아송 과정에 의해 구동되는 확률미분방정식 시스템에 대해 경로별 존재성과 유일성을 증명한다. 평균장 및 격자 설정에서 장시간의 대수법칙과 중심극한정리가 수립되며, Z^d에서의 자극의 전파 및 소멸 행동이 명시적으로 분석된다.

ABSTRACT

We generalise the construction of multivariate Hawkes processes to a possibly infinite network of counting processes on a directed graph $\mathbb G$. The process is constructed as the solution to a system of Poisson driven stochastic differential equations, for which we prove pathwise existence and uniqueness under some reasonable conditions. We next investigate how to approximate a standard $N$-dimensional Hawkes process by a simple inhomogeneous Poisson process in the mean-field framework where each pair of individuals interact in the same way, in the limit $N ightarrow \infty$. In the so-called linear case for the interaction, we further investigate the large time behaviour of the process. We study in particular the stability of the central limit theorem when exchanging the limits $N, T ightarrow \infty$ and exhibit different possible behaviours. We finally consider the case $\mathbb G = \mathbb Z^d$ with nearest neighbour interactions. In the linear case, we prove some (large time) laws of large numbers and exhibit different behaviours, reminiscent of the infinite setting. Finally we study the propagation of a {\it single impulsion} started at a given point of $\zz^d$ at time $0$. We compute the probability of extinction of such an impulsion and, in some particular cases, we can accurately describe how it propagates to the whole space.

연구 동기 및 목표

• 방향성 있는 그래프 위의 무한 네트워크로 다변량 하크스 과정을 확장하여 대규모 상호작용 시스템의 모델링을 가능하게 한다.
• 해당 그래프 위에서 포아송 과정에 의해 구동되는 확률미분방정식 시스템의 해에 대해 경로별 존재성과 유일성을 확립한다.
• N → ∞일 때 N차원 선형 하크스 과정의 평균장 극한을 분석하여 대수법칙과 중심극한정리를 도출한다.
• Z^d에서 최근접 이웃 상호작용을 갖는 선형 하크스 과정에서 단일 자극의 전파 및 소멸을 연구한다.
• 특히 극한정리의 안정성 맥락에서 N → ∞ 및 T → ∞ 극한 간의 상호작용에서 나타나는 다양한 장시간 행동을 특성화한다.

제안 방법

• 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 확률미분방정식 시스템의 해로서 무한차원 하크스 과정을 구성한다.
• 해의 경로별 유일성과 존재성을 확보하기 위해 상호작용 커널 φ_ji 및 강도 함수 h_i에 조건을 도입하고, 수축 원리에 기반한 증명을 수행한다.
• N → ∞ 극한에서 N차원 선형 하크스 과정의 평균장 근사 기법을 적용하여 결정론적 극한을 도출한다.
• 컨볼루션 방정식과 행렬 연산자(예: Z^d에서의 A)를 사용하여 공간적 상호작용을 모델링하고 강도 과정의 시간 도함수 방정식을 유도한다.
• 레베그 수렴 정리 및 그론발 유형 부등식을 활용하여 모멘트 수렴성과 극한정리의 안정성을 증명한다.
• Z^d에서의 자극 전파 분석을 위해 소멸 확률을 계산하고, 커널 φ 및 확률적 행렬 A를 사용하여 초기 한 번의 점프가 어떻게 확산되는지 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 방향 그래프 위의 다변량 하크스 과정이 경로별 유일한 해를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 N → ∞일 때 선형 N차원 하크스 과정의 평균장 극한은 어떻게 행동하는가? 그로 인해 도출되는 대수법칙은 무엇인가?
• RQ3 평균장 프레임워크에서 N → ∞ 및 T → ∞ 극한의 순서를 바꿀 경우 중심극한정리는 어떻게 변화하는가?
• RQ4 최근접 이웃 상호작용을 갖는 Z^d 격자에서 선형 하크스 과정에서 단일 자극은 어떻게 전파되는가?
• RQ5 Z^d에서 한 점에서 시작된 단일 자극의 소멸 확률은 무엇이며, 이는 상호작용 커널에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 상호작용 커널과 강도 함수에 대해 약한 적분 가능성 및 양수 조건을 만족할 경우, 포아송 과정에 의해 구동되는 SDE 시스템은 유일한, càdlàg이며, 비감소적인 해를 갖는다.
• N → ∞의 평균장 극한에서, N차원 선형 하크스 과정의 경험 측도는 상호작용 커널을 포함하는 컨볼루션 방정식에 의해 지배되는 결정론적 극한으로 수렴한다.
• 평균장 영역에서는 중심극한정리가 성립하지만, 그 안정성은 극한의 순서에 따라 달라진다: N → ∞ 및 T → ∞의 순서를 바꾸면 다른 수렴 행동이 나타날 수 있다.
• Z^d에서 최근접 이웃 상호작용을 갖는 경우, 강도 과정은 확률적 행렬 A를 포함하는 컨볼루션 방정식을 만족하며, 강도의 시간 도함수는 A의 거듭제곱을 포함하는 노이만 급수로 주어진다.
• 일부 조건 하에서 Z^d에서 단일 자극의 소멸 확률은 1보다 작으며, 이는 전역적 전파 가능성의 가능성을 시사한다.
• 특정 상호작용 커널에 대해서는 자극의 전파가 명시적으로 기술될 수 있으며, 커널의 감쇠 속도에 따라 강도가 구동형 또는 확산형으로 전파된다.