[논문 리뷰] Higher rho numbers and the mapping of analytic surgery to homology

Paolo Piazza, Thomas Schick외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 28.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 44인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 갈루아 군 $\Gamma$-피복 $\widetilde{M}$ 의 분석적 구조 군 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 와 딜로컬라이즈드 순환 코hom로지 및 상대 코hom로지 $H^*(M \to B\Gamma)$ 사이의 두 쌍을 구성하며, 이를 통해 히그슨-로우 분석적 수술 시퀀스에서 비공유드-데 라무 호모로지 시퀀스로의 사상 수립을 가능하게 하여, $\Gamma$--equivariant 디라크 연산자에 대한 고차 rho 수의 정의를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Let $\Gamma$ be a finitely generated discrete group and let $\widetilde{M}$ be a Galois $\Gamma$-covering of a smooth compact manifold $M$. Let $u:X o B\Gamma$ be the associated classifying map. Finally, let $\mathrm{S}_*^\Gamma (\widetilde{M})$ be the analytic structure group, a K-theory group appearing in the Higson-Roe exact sequence $\cdots o \mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M}) o K_*(M) o K_*(C^*\Gamma) o\cdots$. Under suitable assumptions on $\Gamma$ we construct two pairings, first between $\mathrm{S}^\Gamma_*(\widetilde{M})$ and the delocalized part of the cyclic cohomology of $\mathbb{C}\Gamma$, and secondly between $\mathrm{S}^\Gamma_*(\widetilde M)$ and the relative cohomology $H^*(M o B\Gamma)$. Both are compatible with known pairings associated with the other terms in the Higson-Roe sequence. In particular, we define higher rho numbers associated to the rho class $ ho(\widetilde{D})\in \mathrm{S}_*^\Gamma (\widetilde{M})$ of an invertible $\Gamma$-equivariant Dirac type operator on $\widetilde{M}$. Regarding the first pairing we establish in fact a more general result, valid without additional assumptions on $\Gamma$: indeed, we prove that it is possible to map the Higson-Roe analytic surgery sequence to the long exact sequence in noncommutative de Rham homology $ \cdots\xrightarrow{j_*} H_{*-1} (\mathcal{A}\Gamma)\xrightarrow{\iota} H^{del}_{*-1} (\mathcal{A}\Gamma)\xrightarrow{\delta}H^{e}_{*} (\mathcal{A}\Gamma)\xrightarrow{j_*}\cdots$ with $\mathcal{A}\Gamma$ a dense homomorphically closed subalgebra of $C^*_r \Gamma$ and $ H_{*}^{del} (\mathcal{A}\Gamma)$ and $ H_{*}^{e} (\mathcal{A}\Gamma)$ denoting versions of the delocalized homology and the homology localized at the identity element, respectively.

연구 동기 및 목표

• 분석적 수술 불변량을 사용하여 $\Gamma$-equivariant 디라크 연산자에 대한 고차 rho 불변량을 정의하기.
• 히그슨-로우 정확시퀀스와 호환되는, 분석적 구조 군 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 와 $\mathbb{C}\Gamma$ 의 딜로컬라이즈드 순환 코호몰로지 사이의 쌍을 수립하기.
• 이 쌍을 일반적인 유한 생성 이산군 $\Gamma$ 에 대해 히그슨-로우 분석적 수술 시퀀스에서 비공유드-데 라무 호모로지 시퀀스로의 사상으로 확장하기.
• 분석적 수술 이론에서의 rho 클래스 $\rho(\widetilde{D})$ 와 관련된 고차 rho 수를 정의하고 연구하기.

제안 방법

• 히그슨-로우 정확시퀀스를 틀로 삼아, $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 와 $\mathbb{C}\Gamma$ 의 딜로컬라이즈드 순환 코호몰로지 사이의 쌍을 구성하기.
• 분석적 수술 이론의 알려진 정확시퀀스의 구조와 호환되는, $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 와 상대 코호몰로지 $H^*(M \to B\Gamma)$ 사이의 두 번째 쌍을 정의하기.
• 추가 가정 없이도 임의의 유한 생성 이산군 $\Gamma$ 에 대해, 히그슨-로우 분석적 수술 시퀀스에서 비공유드-데 라무 호모로지 시퀀스로의 일반적 사상을 수립하기.
• $\mathcal{A}\Gamma \subset C^*_r\Gamma$ 의 대수적 구조를 활용하여 $H^{\text{del}}_*(\mathcal{A}\Gamma)$ 와 $H^e_*(\mathcal{A}\Gamma)$ 를 정의하기. 여기서 각각 딜로컬라이즈드 및 아이덴티티-로컬라이즈드 호모로지에 대응한다.
• 두 쌍이 히그슨-로우 시퀀스의 사상과 호환되도록 보장하여 정확성과 함의성 유지하기.
• 고차 rho 수를 rho 클래스 $\rho(\widetilde{D})$ 가 이 쌍들에 의해 전이되는 이미지로 정의하여, 고전적 rho 불변량을 분석적 수술 설정으로 일반화하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 분석적 구조 군 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 를 이용하여 $\Gamma$-equivariant 디라크 연산자에 대한 고차 rho 불변량을 정의할 수 있는가?
• RQ2 분석적 수술 시퀀스와 비공유드-데 라무 호모로지 사이의 관계는 무엇이며, 이 관계를 임의의 $\Gamma$ 에 대해 함의적으로 만들 수 있는가?
• RQ3 히그슨-로우 정확시퀀스를 유지하는 조건에서, $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 와 $\mathbb{C}\Gamma$ 의 딜로컬라이즈드 순환 코호몰로지 사이의 쌍을 구성할 수 있는가?
• RQ4 상대 코호몰로지 $H^*(M \to B\Gamma)$ 는 분석적 수술 불변량의 맥락에서 분석적 구조 군과 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 밀도 있는 $*$-부분대수 $\mathcal{A}\Gamma \subset C^*_r\Gamma$ 는 분석적 수술과 비공유드-데 라무 호모로지 사이의 연결 고리를 어떻게 실현하는가?

주요 결과

• 논문은 히그슨-로우 정확시퀀스와 호환되는, 분석적 구조 군 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 와 $\mathbb{C}\Gamma$ 의 딜로컬라이즈드 순환 코호몰로지 사이의 자연스러운 쌍을 구성한다.
• 추가 가정 없이도 임의의 유한 생성 이산군 $\Gamma$ 에 대해 히그슨-로우 분석적 수술 시퀀스에서 비공유드-데 라무 호모로지 시퀀스로의 일반적 사상을 수립한다.
• 이 사상은 $C^*_r\Gamma$ 의 밀도 있는 $*$-부분대수 $\mathcal{A}\Gamma \subset C^*_r\Gamma$ 를 통해 실현되며, 이는 $H^{\text{del}}_*(\mathcal{A}\Gamma)$ 와 $H^e_*(\mathcal{A}\Gamma)$ 의 정의를 가능하게 하여 호모로지 비교를 실현한다.
• 분석적 수술 이론의 정확시퀀스를 유지하는 조건에서, $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 와 상대 코호몰로지 $H^*(M \to B\Gamma)$ 사이의 두 번째 쌍을 정의한다.
• 고차 rho 수는 rho 클래스 $\rho(\widetilde{D})$ 가 이 쌍들에 의해 전이되는 이미지로 정의되며, 고전적 rho 불변량을 분석적 수술 설정으로 일반화한다.
• 결과적으로 분석적 수술 불변량이 비공유드 호모로지 및 코호몰로지 이론에 의해 감지될 수 있음을 보여주며, 인덱스 이론과 $K$-이론 불변량을 위한 새로운 도구를 제공한다.