[논문 리뷰] How to Sum and Exponentiate Hamiltonians in ZXW Calculus

Razin A. Shaikh, Quanlong Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 08.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 35인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 ZXW 미분법에서 해밀토니안의 합성과 지수화를 위한 프레임워크를 제안하여 양자 동역학을 위한 다이어그램 기반 추론을 가능하게 한다. W-spiders를 도입한 ZX 미분법을 확장하고 케일리-암스트롱 정리를 활용함으로써 임의의 해밀토니안, 테일러 전개, 트로터화된 시간 진화를 직접 표현할 수 있게 되었으며, 이는 정확한 및 근사적인 유니터리 진화 다이어그램을 양자 화학 및 응집물질 물리학 적용을 위한 양자 회로로 재작성할 수 있게 한다.

ABSTRACT

This paper develops practical summation techniques in ZXW calculus to reason about quantum dynamics, such as unitary time evolution. First we give a direct representation of a wide class of sums of linear operators, including arbitrary qubits Hamiltonians, in ZXW calculus. As an application, we demonstrate the linearity of the Schroedinger equation and give a diagrammatic representation of the Hamiltonian in Greene-Diniz et al, which is the first paper that models carbon capture using quantum computing. We then use the Cayley-Hamilton theorem to show in principle how to exponentiate arbitrary qubits Hamiltonians in ZXW calculus. Finally, we develop practical techniques and show how to do Taylor expansion and Trotterization diagrammatically for Hamiltonian simulation. This sets up the framework for using ZXW calculus to the problems in quantum chemistry and condensed matter physics.

연구 동기 및 목표

• 양자 시뮬레이션에서 특히 해밀토니안을 포함한 선형 연산자의 다이어그램 표현을 효율적으로 처리할 수 있는 기법의 부족을 해결하기 위해.
• 실제 문제들(예: 탄소 포집)에서 유래한 해밀토니안을 포함한 임의의 해밀토니안을 파울리 연산자의 합으로 직접 다이어그램 기반으로 표현할 수 있도록 하기 위해.
• ZXW 미분법 내에서 테일러 전개와 트로터화를 활용한 해밀토니안 지수화를 위한 실용적인 방법을 개발하기 위해.
• 다이어그램 기반 유니터리 진화를 통해 ZXW 미분법을 양자 화학 및 응집물질 물리학에 적용할 수 있는 기반을 마련하기 위해.
• 재작성 규칙을 사용하여 해밀토니안 진화 다이어그램을 실행 가능한 양자 회로로 변환할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 행렬과 벡터의 합을 효율적이고 압축적으로 표현할 수 있도록 W-spiders를 도입한 ZXW 미분법을 제안하여 ZX 미분법을 확장한다.
• 제어 상태와 수정된 생성자들을 사용하여 선형 연산자 합, 특히 임의의 큐비트 해밀토니안을 직접 표현한다.
• 케일리-암스트롱 정리를 적용하여 해밀토니안의 지수를 H에 대한 다항식으로 표현함으로써 정확한 다이어그램 기반 지수화를 가능하게 한다.
• 시리즈를 잘라내어 근사화한 테일러 전개를 통해 지수 매핑을 실현하며, 각 항을 계수를 갖는 ZXW 다이어그램으로 표현한다.
• 비가환 해밀토니안을 순차적인 시간 진화 연산자로 분해하기 위해 트로터-수즈키 공식을 사용하여 전체 진화를 근사한다.
• 기존의 ZXW 재작성 규칙을 활용하여 도출된 다이어그램을 단순화하고 물리적 양자 회로로 변환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ZXW와 같은 다이어그램 기반 미분법에서, 예를 들어 해밀토니안을 포함한 임의의 선형 연산자 합을 효율적으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 케일리-암스트롱 정리를 활용하여 ZXW 미분법에서 해밀토니안의 정확한 다이어그램 기반 지수를 구성할 수 있는가?
• RQ3 테일러 전개와 트로터화는 ZXW 프레임워크 내에서 어떻게 형식화되어 근사적 해밀토니안 시뮬레이션에 활용될 수 있는가?
• RQ4 ZXW 미분법을 사용하여 실제 해밀토니안(예: 양자 화학에서의 것들)의 시간 진화 연산자에 대한 양자 회로를 유도할 수 있는가?
• RQ5 ZXW 미분법에서의 덧셈, 지수화, 미분 연산이 행렬 대수의 직관적 구조를 어느 정도 유지하는가?

주요 결과

• 논문은 2m×2m 행렬과 2m차원 벡터의 임의의 합을 ZXW 미분법에서 직접 다이어그램 기반으로 표현할 수 있으며, 이는 슈뢰딩거 방정식에 대한 선형성 추론을 가능하게 한다.
• Greene-Diniz 등 [13]이 제안한 탄소 포집을 위한 양자 해밀토니안의 첫 번째 다이어그램 표현을 제공하여 실제 양자 화학 문제에의 적용 가능성을 입증한다.
• 케일리-암스트롱 정리를 활용하여 임의의 해밀토니안의 지수를 H에 대한 다항식으로 정확한 다이어그램으로 표현할 수 있으나, 계수 계산이 지수적으로 비용이 많이 든다.
• 시간 진화 연산자의 테일러 전개는 유한합으로 표현된 ZXW 다이어그램으로 실현되며, 계수는 시리즈 항에 대응하여 저차수 근사를 가능하게 한다.
• 트로터화는 해밀토니안을 가환 항들로 분해하고 트로터-수즈키 공식을 적용하여 실현되며, 결과 다이어그램은 전체 진화에 대해 O(t²/n) 오차로 근사한다.
• 논문은 해밀토니안 지수 다이어그램에서 물리적 양자 회로에 이르는 완전한 재작성 경로를 제시하였으며, 이는 7.1번 예제에서 ZXW 규칙을 사용해 단일 및 이중 큐비트 게이트의 매개변수화 분해를 도출한 바 있다.