[논문 리뷰] Identities in plactic, hypoplactic, sylvester, Baxter, and related monoids

Alan J. Cain, António Malheiro|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 13.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 조합적 삽입 알고리즘과 트리 기반 표현을 사용하여 '플라틱 유사' 모노이드—하이포플락틱, 시르베스트, 백서, 스탈라틱, 타이다, 및 관련 모노이드—에서 비자명한 항등식을 조사한다. 모든 이러한 모노이드가 비자명한 항등식을 만족함을 증명하고, 그 중 가장 짧은 항등식을 특정하며, 플라틱 모노이드와 내시팅 소트 모노이드의 상태를 해결한다. 그 결과 플라틱 모노이드는 어떤 비자명한 항등식도 만족하지 않으며, 왼쪽 및 오른쪽 내시팅 소트 모노이드 역시 1차수의 경우를 제외하고는 비자명한 항등식을 만족하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

This paper considers whether non-trivial identities are satisfied by certain `plactic-like' monoids that, like the plactic monoid, are closely connected to combinatorics. New results show that the hypoplactic, sylvester, Baxter, stalactic, and taiga monoids satisfy identities, and indeed give shortest identities satisfied by these monoids. The existing state of knowledge is discussed for the plactic monoid and left and right patience sorting monoids.

연구 동기 및 목표

• 다양한 '플라틱 유사' 모노이드가 비자명한 항등식을 만족하는지 확인하는 것.
• 이들 모노이드가 만족하는 가장 짧은 비자명한 항등식을 특정하는 것.
• 플라틱 모노이드 및 왼쪽/오른쪽 내시팅 소트 모노이드에 대한 기존 지식의 상태를 명확히 하는 것.
• 유한 생성 모노이드에서 다항식 성장과 항등식 만족 사이의 관계를 조사하는 것.

제안 방법

• 스펜스티드, 이진 탐색 트리 삽입 등의 삽입 알고리즘을 사용하여 청다이 테이블라우와 이진 탐색 트리 등의 조합적 객체를 통해 모노이드를 정의하는 것.
• 왼쪽 및 오른쪽 이진 트리 쌍을 사용해 단어를 표현하여 모노이드 항등식을 분석하는 것.
• 백서 모노이드의 항등식을 그의 환원 영상인 시르베스트 및 #sylvester 모노이드의 항등식과 연결하기 위해 호모모르피즘을 적용하는 것.
• 시르베스트 및 #sylvester 모노이드의 좌/우 취소성 성질을 활용하여 가능한 항등식을 제약하는 것.
• 예를 들어 중국 모노이드에서 알려진 아디안의 항등식과 같은 기존 항등식을 비교 기준으로 삼는 것.
• 단어 길이와 기호 위치에 대한 케이스 분석을 수행하여 후보 항등식을 제거하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하이포플락틱, 시르베스트, 백서, 스탈라틱, 타이다 모노이드는 비자명한 항등식을 만족하는가?
• RQ2 각 모노이드가 만족하는 가장 짧은 비자명한 항등식은 무엇인가?
• RQ3 플라틱 모노이드는 비자명한 항등식을 만족하는가?
• RQ4 왼쪽 및 오른쪽 내시팅 소트 모노이드는 비자명한 항등식을 만족하는가?
• RQ5 4 이상의 유한 질량 플라틱 모노이드 placn은 비자명한 항등식을 만족하는가?

주요 결과

• 하이포플락틱 모노이드는 항등식 xyxy = yxyx를 만족하며, 이는 그가 만족하는 가장 짧은 비자명한 항등식이다.
• 시르베스트 모노이드는 항등식 xyxy = yxxy를 만족하며, 이는 그가 만족하는 가장 짧은 비자명한 항등식이다.
• #sylvester 모노이드는 항등식 yxyx = yxxy를 만족하며, 이는 그가 만족하는 가장 짧은 비자명한 항등식이다.
• 백서 모노이드는 항등식 yxxyxy = yxyxxy를 만족하며, 이는 그가 만족하는 가장 짧은 비자명한 항등식이다.
• 스탈라틱 및 타이다 모노이드는 모두 항등식 xyx = yxx를 만족하며, 이는 그들이 만족하는 가장 짧은 비자명한 항등식이다.
• 플라틱 모노이드 및 왼쪽/오른쪽 내시팅 소트 모노이드는 어떤 비자명한 항등식도 만족하지 않는다.