[논문 리뷰] Infinite-thin shock layer solutions for stationary compressible conical flows and numerical results via Fourier spectral method

Aifang Qu, Xueying Su외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 04.

Computational Fluid Dynamics and AerodynamicsEngineering인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정적 압축성 원뿔류 유동에서 무한 두께의 충격층 해를 기술하는 매우 특이한 비선형 상미분방정식(ODE)을 수치적으로 해결하기 위해 푸리에 스펙트럼 방법과 뉴턴 방법을 기반으로 한 수치 프레임워크를 제안한다. 특히 찰플린 기체와 공격각이 있는 초음속 유동에 대해 적용된다. 주요 기여는 원뿔 표면상의 가중치가 있는 델타 함수를 포함하는 라돈 측도 해를 구성함으로써 일반화된 뉴턴-부즈먼 압력 법칙을 도출하고, 물리적 기대에 부합하는 압력 분포와 입자 궤적을 정확하게 수치적으로 검증하는 데 있다.

ABSTRACT

We consider the problem of uniform steady supersonic Euler flows passing a straight conical body with attack angles, and study Radon measure solutions describing the infinite-thin shock layers, particularly for the Chaplygin gas and limiting hypersonic flows. As a byproduct, we obtain the generalized Newton-Busemann pressure laws. To construct the Radon measure solutions containing weighted Dirac measures supported on the edge of the cone on the 2-sphere, we derive some highly singular and non-linear ordinary differential equations (ODE). A numerical algorithm based on the combination of Fourier spectral method and Newton's method is developed to solve the physically desired nonnegative and periodic solutions of the ODE. The numerical simulations for different attack angles exhibit proper theoretical properties and excellent accuracy, thus would be useful for engineering of hypersonic aerodynamics.

연구 동기 및 목표

• 공격각이 있는 정상 상태 초음속 원뿔류 흐름에서 라돈 측도 해를 사용하여 무한 두께의 충격층을 모델링한다.
• 원뿔 표면상의 델타 함수의 가중치를 기술하는 매우 특이한 비선형 상미분방정식(ODE)을 유도하고 해를 구한다.
• 특이한 충격층 모델에서 유도된 비선형 상미분방정식의 비음수 및 주기적인 해를 효율적으로 계산하기 위한 강력한 수치 알고리즘을 개발한다.
• 압력 분포와 입자 궤적의 수치 시뮬레이션을 통해 해의 물리적 일관성을 검증한다.
• 공격각이 0이 아닌 경우에 대한 뉴턴-부즈먼 압력 법칙을 일반화한다.

제안 방법

• 공격각이 있는 원뿔체와 균일한 초음속 유동을 갖는 구면좌표계에서 문제를 수립한다.
• 무한 두께의 충격층을 나타내는 델타 함수의 가중치를 기술하는 특이한 비선형 상미분방정식(ODE) 시스템을 유도한다.
• 주기적이고 비음수인 상미분방정식을 효율적으로 이산화 및 해석하기 위해 푸리에 스펙트럼 방법을 적용한다.
• 푸리에 스펙트럼 방법과 뉴턴 방법을 결합하여 비선형 시스템의 수렴성과 정확도를 향상시킨다.
• 상미분방정식의 해를 이용하여 속도 성분 $ u^t, w, w_\rho $ 를 재구성하고 원뿔 표면상의 입자 궤적을 분석한다.
• 압력 및 유동 변수의 단조성과 대칭성 등을 보여주는 수치 시뮬레이션을 통해 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공격각이 0이 아닌 경우에 라돈 측도 해를 사용하여 압축성 원뿔류 흐름에서의 무한 두께 충격층 해를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 임의의 공격각에서 찰플린 기체에 대해 도출된 일반화된 뉴턴-부즈먼 압력 법칙은 무엇인가?
• RQ3 충격층 가중치를 기술하는 매우 특이한 비선형 상미분방정식(ODE)을 어떻게 고정밀도와 비음수 제약 조건을 충족하면서 수치적으로 해결할 수 있는가?
• RQ4 압력 분포와 유동 변수의 수치 해에서 나타나는 물리적 성질, 예를 들어 단조성과 대칭성은 무엇인가?
• RQ5 원뿔 표면상의 입자 궤적이 어떻게 변화하며, 이는 다양한 공격각에서의 흐름 거동을 어떻게 반영하는가?

주요 결과

• 수치 방법은 매우 높은 정확도로 비음수이고 주기적인 특이 상미분방정식의 해를 성공적으로 계산하여 물리적으로 일관된 무한 두께 충격층 해의 존재를 확인한다.
• 공격각 $ \alpha_0 $ 가 증가함에 따라 최대 압력 $ \max W_C $ 는 증가하고 최소 압력 $ \min W_C $ 는 감소하며, 이는 풍향면에서의 높은 압력과 배풍면에서의 낮은 압력이라는 물리적 직관과 일치한다.
• 압력 함수 $ W_C $ 의 최대 및 최소 값이 이론적 곡선 $ \sin^2(\theta_0 + \alpha_0) $ 과 $ \sin^2(\theta_0 - \alpha_0) $ 와 정확히 일치하여 도출된 일반화된 뉴턴-부즈먼 법칙이 검증된다.
• 속도 성분 $ u^t, w, w_\rho $ 는 $ \phi = 0, \pm\pi $ 에서 기대되는 특이성을 보이지만, 이는 분석적으로 $ C^1 $ 정규성을 갖는 것으로 예상됨에도 불구하고 수치적 오차로 인한 것으로 보인다.
• 원뿔 표면상의 입자 궤적은 $ \phi = 0 $ 쪽으로 수렴하여 배풍면에서의 흐름 집중을 나타내며, $ x^1 $-축을 중심으로 대칭적인 행동을 보인다.
• 수치 결과는 단조적 경향을 보이며, $ f(\phi) $ 는 $ \alpha_0 $ 가 증가함에 따라 증가하고, $ w_\rho $ 는 $ \phi = \pm\pi $ 근처에서는 증가하고 $ \phi = 0 $ 근처에서는 감소함으로써 입자 충격 밀도의 변화를 반영한다.