[논문 리뷰] Infinitesimals, Imaginaries, Ideals, and Fictions

David Sherry, Mikhail G. Katz|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 08.

Historical Philosophy and Science인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 라이프니츠의 무한소 개념을 재평가하며, 그가 무한소를 상상의 존재로 간주했지만, 이를 제거 가능한 논리적 허구로 보는 시각보다는 형식주의적 해석—즉, 허수 근과 유사한 해석—이 더 납득할 만하다고 주장한다. 저자들은 이러한 형식주의적 해석이 라이프니츠의 철학적 기초와 더 잘 맞으며, 그의 미적분학과 현대 비표준 해석학 사이의 연속성을 뒷받침한다고 보여준다.

ABSTRACT

Leibniz entertained various conceptions of infinitesimals, considering them sometimes as ideal things and other times as fictions. But in both cases, he compares infinitesimals favorably to imaginary roots. We agree with the majority of commentators that Leibniz's infinitesimals are fictions rather than ideal things. However, we dispute their opinion that Leibniz's infinitesimals are best understood as logical fictions, eliminable by paraphrase. This so-called syncategorematic conception of infinitesimals is present in Leibniz's texts, but there is an alternative, formalist account of infinitesimals there too. We argue that the formalist account makes better sense of the analogy with imaginary roots and fits better with Leibniz's deepest philosophical convictions. The formalist conception supports the claim of Robinson and others that the philosophical foundations of nonstandard analysis and Leibniz's calculus are cut from the same cloth.

연구 동기 및 목표

• 최근의 해석을 바탕으로 라이프니츠의 무한소의 철학적 지위를 재평가하기.
• 라이프니츠의 무한소가 암시적 논리적 허구로 간주되며, 암시적 표현으로 제거 가능하다는 지배적인 견해에 도전하기.
• 라이프니츠가 무한소를 다루는 방식이 동치적 개념(제거 가능한 표현)보다는 형식주의적 해석과 더 잘 맞는다고 주장하기.
• 형식주의적 해석이 무한소와 허수 근 사이의 라이프니츠의 비유를 유지하는 데 기여함을 보여주기.
• 라이프니츠의 미적분학과 현대 비표준 해석학 사이의 철학적 연속성을 확립하기.

제안 방법

• 라이프니츠가 무한소를 다룬 텍스트적 근거를 분석하여 이상적 존재와 허구적 존재의 개념을 구분하기.
• 무한소에 대한 동치적 개념(제거 가능한)과 형식주의적 해석(규칙 기반)을 대비 분석하기.
• 라이프니츠가 무한소와 허수 근을 비교함으로써 형식주의적 해석을 뒷받침하는 데 초점하기.
• 라이프니츠의 철학적 틀을 재구성하여, 형식주의적 해석이 그의 본질론적 및 인지론적 사고와 더 잘 맞는다는 것을 보여주기.
• 라이프니츠의 접근 방식을 현대 비표준 해석학, 특히 로빈슨의 프레임워크와 비교하여 개념적 연속성을 부각하기.
• 원천 자료의 역사적·철학적 분석을 통해 무한소의 암시적 표현에 의한 제거 가능성에 반대하는 논거 제시하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라이프니츠는 무한소를 어떻게 이해했는가—그것은 이상적 존재인가, 허구인가?
• RQ2 왜 라이프니츠는 무한소를 허수 근과 유사하게 긍정적으로 비교하는가, 그리고 이 비교는 무엇을 암시하는가?
• RQ3 동치적 개념(무한소를 제거 가능한 허구로 보는)이 라이프니츠의 미적분학에 대한 최선의 해석인가?
• RQ4 무한소에 대한 형식주의적 해석이 라이프니츠의 철학적 약속과 더 잘 맞는가?
• RQ5 라이프니츠의 무한소와 현대 비표준 해석학 사이에 개념적 연속성이 어느 정도 존재하는가?

주요 결과

• 라이프니츠는 일관되게 무한소를 허구로 간주했지만, 암시적 표현으로 제거 가능한 논리적 허구는 아니었다.
• 규칙 기반의 실용적 존재로 간주되는 형식주의적 해석이 라이프니츠가 무한소와 허수 근 사이의 비유를 제시한 데서 더 잘 설명된다.
• 라이프니츠의 철학적 약속, 특히 가능성과 현실의 본질론적 사고는 형식주의적 해석을 동치적 개념보다 더 잘 뒷받침한다.
• 형식주의적 해석은 무한소의 제거 문제를 피하면서도, 라이프니츠의 미적분학에 일관된 기초를 제공한다.
• 라이프니츠의 무한소와 로빈슨가 개발한 현대 비표준 해석학의 기초 사이에 강력한 개념적 연속성이 존재한다.
• 논문은 형식주의적 해석이 무한소의 해법적·수학적 힘을 유지하면서도 그들의 제거를 요구하지 않음을 결론으로 내린다.