[논문 리뷰] $L^p$-operator algebras associated with oriented graphs

Guillermo Cortiñas⋆, María Eugenia Rodríguez|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 23.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 가 countable인 방향 그래프 $Q$와 관련된 $L^p$-연산자 대수 $\mathcal{O}^p(Q)$를 도입하며, 이는 Phillips의 $L^p$-Cuntz 대수를 일반화한다. 이 대수는 $L_Q$의 임의의 영이 아닌 공간적 $L^p$-표현의 이미지의 폐포와 등거리 동형임을 증명하며, $L_Q$가 단순할 때 $\mathcal{O}^p(Q)$가 $L^p$-연산자 대수로서 단순임을 보이며, $L_Q$가 순수 무한 단순일 경우 $p \neq p'$이면 $\mathcal{O}^p(Q)$와 $\mathcal{O}^{p'}(Q)$ 사이에 영이 아닌 연속적 준동형사상이 존재하지 않음을 증명한다.

ABSTRACT

For each $1\le p

연구 동기 및 목표

• 임의의 가 countable인 방향 그래프 $Q$와 관련된 보편적인 $L^p$-연산자 대수 $\mathcal{O}^p(Q)$를 구성함으로써 $L^p$-Cuntz 대수를 일반화한다.
• $\mathcal{O}^p(Q)$가 $L^p$-연산자 대수로서 단순해지는 조건을 규명한다.
• $L_Q$가 순수 무한 단순일 경우 $p \neq p'$이면 $\mathcal{O}^p(Q)$와 $\mathcal{O}^{p'}(Q)$ 사이에 영이 아닌 연속적 준동형사상이 존재하지 않음을 확립한다.
• Phillips의 $L^p$-Cuntz 대수에 대한 결과들을 $L^p$-연산자 대수를 통해 더 넓은 범위의 Leavitt 경로 대수로 통합하고 일반화한다.

제안 방법

• $L_Q$의 모든 공간적 $L^p$-표현에 의해 유도되는 최대노름에 대한 완비화로서 $\mathcal{O}^p(Q)$를 정의한다.
• 측도공간 $X$가 $\sigma$-유한일 때, 생성자들이 공간성 조건을 만족하는 부분등장사상으로 대응하는 공간적 표현 $\rho: L_Q \to \mathcal{L}(L^p(X))$를 사용한다.
• 공간성 기준을 설정: 비퇴화된 표현이 공간적임은 그 $0,1$-부대수에 대한 제약이 있고, 생성자의 연산자 노름이 1 이하일 때이고, 그 역도 성립한다.
• 유일성 정리를 통해, 임의의 영이 아닌 공간적 표현 $\rho$에 대해 $\mathcal{O}^p(Q)$가 $\overline{\rho(L_Q)}$와 등거리 동형임을 증명한다.
• $\mathcal{O}^p(Q)$의 표현들이 유한성 조건 또는 $p > 1$ 조건 하에서 공간적 표현을 통해 인수화됨을 Andô 및 Gardella-Thiel의 결과를 적용하여 보인다.
• $\ell^p(\mathbb{N})$-표현과 부분공간 동형성의 장애 요소(예: Lindstrom-Tzafriri 및 Albin-Kalton의 결과)를 사용하여, $p \neq p'$일 경우 $\mathcal{O}^p(Q)$와 $\mathcal{O}^{p'}(Q)$ 사이에 준동형사상을 배제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 언제 $L^p$-연산자 대수 $\mathcal{O}^p(Q)$가 $L^p$-연산자 대수로서 단순해지는가?
• RQ2 $\mathcal{O}^p(Q)$가 영이 아닌 공간적 $L^p$-표현 $L_Q$의 이미지 폐포와 등거리 동형이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 $L_Q$가 순수 무한 단순일 경우 $p \neq p'$일 때 $\mathcal{O}^p(Q)$와 $\mathcal{O}^{p'}(Q)$ 사이에 영이 아닌 연속적 준동형사상이 존재할 수 있는가?
• RQ4 $L_Q$의 단순성과 $\mathcal{O}^p(Q)$가 $L^p$-연산자 대수로서 단순해지는 것 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 $p \notin \{1,2\}$일 때 $\mathcal{O}^p(Q)$와 $\mathcal{O}^p(Q)$의 타이트한 $L^p$-연산자 대수 $F_{\text{tight}}^p(\mathcal{S}(Q))$ 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 가 countable인 방향 그래프 $Q$에 대해, $L^p$-연산자 대수 $\mathcal{O}^p(Q)$는 임의의 영이 아닌 공간적 $L^p$-표현 $\rho: L_Q \to \mathcal{L}(L^p(X))$의 이미지 폐포 $\overline{\rho(L_Q)}$와 등거리 동형이다.
• $\mathcal{O}^p(Q)$는 $L_Q$가 단순일 때에만 $L^p$-연산자 대수로서 단순하다.
• $L_Q$가 순수 무한 단순이고 $p \neq p'$일 경우, $\mathcal{O}^p(Q) \to \mathcal{O}^{p'}(Q)$ 사이에 영이 아닌 연속적 준동형사상이 존재하지 않으며, 이는 Phillips의 $L^p$-Cuntz 대수 결과를 일반화한다.
• $p \notin \{1,2\}$일 때, $\mathcal{O}^p(Q)$는 $Q$로부터 생성된 역반대군 $\mathcal{S}(Q)$와 관련된 타이트한 반대군 $L^p$-연산자 대수 $F_{\text{tight}}^p(\mathcal{S}(Q))$와 일치한다. 이는 Gardella와 Lupini의 이전 작업과의 다리를 놓는다.
• $Q = \mathcal{R}_n$ (한 개의 정점, $n$개의 고리)일 경우, $\mathcal{O}^p(Q) = \mathcal{O}_n^p$가 되며, 이는 Phillips의 구성과 일관성을 유지한다.
• $\mathcal{O}^p(Q) \to \mathcal{O}^{p'}(Q')$ 사이에 영이 아닌 연속적 준동형사상이 존재하면, $L^{p'}(X)$가 $\ell^p(\mathbb{N})$와 동형인 부분공간을 가져야 한다. 그러나 주어진 조건 하에서는 알려진 $L^p$-공간 포함 결과에 의해 이는 배제된다.