[논문 리뷰] $L_p$-Representations of Discrete Quantum Groups

Michael Brannan, Zhong‐Jin Ruan|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 16.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 31인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 이산 양자군에 대한 $L_p$-표현과 $D$-C$^*$-대수를 도입하여, 승수 대칭 대칭의 부분공간을 통한 군 C$^*$-대수 완비화를 일반화한다. 비조화적 이산 양자군인 자유 유니터리 양자군 $\mathbb{F}U_N$와 같이, $p \in (2,\infty)$에 대해 $L_p$-C$^*$-대수 $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$는 이국적이며, 유니버설 및 축소된 C$^*$-대수와 동형이 아니며, 특성(character)이 없음을 증명함으로써 비단순성과 구조적 신규성을 입증한다.

ABSTRACT

Given a locally compact quantum group $\mathbb G$, we define and study representations and C$^\ast$-completions of the convolution algebra $L_1(\mathbb G)$ associated with various linear subspaces of the multiplier algebra $C_b(\mathbb G)$. For discrete quantum groups $\mathbb G$, we investigate the left regular representation, amenability and the Haagerup property in this framework. When $\mathbb G$ is unimodular and discrete, we study in detail the C$^\ast$-completions of $L_1(\mathbb G)$ associated with the non-commutative $L_p$-spaces $L_p(\mathbb G)$. As an application of this theory, we characterize (for each $p \in [1,\infty)$) the positive definite functions on unimodular orthogonal and unitary free quantum groups $\mathbb G$ that extend to states on the $L_p$-C$^\ast$-algebra of $\mathbb G$. Using this result, we construct uncountably many new examples of exotic quantum group norms for compact quantum groups.

연구 동기 및 목표

• 이산군에서의 $D$-C$^*$-대수 이론을 국소적으로 컴acts한 양자군으로 확장하여, $L_1(\mathbb{G})$의 $L_p$-완비화에 초점을 맞춘다.
• 비조화적 수직 및 유니터리 자유 양자군에서 정의된 함수가 $L_p$-C$^*$-대수에 상태로 확장되는 조건을 특성화한다.
• 이산 양자군의 $L_p$-완비화를 통해 컴팩트 양자군에 대해 비가чёт수의 새로운 이국적 양자군 노름을 구성한다.
• 비조화적 이산 양자군 $\mathbb{F}U_N$에 대해 $p>2$일 때 $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$의 동형이 아니며 비단순성을 입증한다. 이는 유니버설 및 축소된 C$^*$-대수와의 차이를 분명히 한다.

제안 방법

• 표본 함수가 부분공간 $D \subset C_b(\mathbb{G})$에 속하는 유계 표현으로서, $L_1(\mathbb{G})$의 $D$-표현을 정의한다.
• 모든 $D$-표현 $\pi$에 대해 $\|\omega\|_D = \sup_\pi \|\pi(\omega)\|$로 정의되는 $C^*$-노름을 구성함으로써, $D$-C$^*$-대수 $C^*_D(\mathbb{G})$를 유도한다.
• 포트리아진 쌍대성을 사용하여 $C^*_D(\mathbb{G})$를 $\text{Pol}(\hat{\mathbb{G}})$의 완비화로 해석함으로써, 컴팩트 양자군에 대한 이국적 노름을 구성할 수 있다.
• $\ell_q$-빠른 감쇠 성질을 적용하여, 양의 정의 함수의 약한 $L_q$-유계성을 특성화하고, 이를 $L_p$-완비화와 연결한다.
• 양자부군에 대한 사영을 사용하여 $\mathbb{F}U_N$ 위에 노름이 1인 양의 정의 함수의 네트워크 $\tilde{\psi}_r$를 구성하고, 관련된 직교 양자군 함수를 통해 그들의 $L_p$-유계성을 분석한다.
• 특정 $r \to 1^-$에서 $\sum_g r^{\ell(g)p} \dim(H_g)^2$의 발산을 이용하여, $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$에 특성이 존재하지 않음을 증명함으로써 비단순성을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비조화적 자유 양자군에서 정의된 양의 정의 함수 중 어떤 것이 $L_p$-C$^*$-대수에 상태로 확장될 수 있는가?
• RQ2 비조화적 자유 양자군 $\mathbb{F}U_N$에 대해 $p>2$일 때 $L_p$-C$^*$-대수 $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$는 이국적인가, 즉 유니버설 및 축소된 C$^*$-대수 사이의 엄밀한 중간 대수인가?
• RQ3 $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$ 대수들이 서로나 $C_u(U_N^+)$ 및 $C(U_N^+)$와 $p>2$일 때 동형이 아닌가?
• RQ4 $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$ 대수들은 추적(trace)를 가지며, 그 추적이 유일한가?

주요 결과

• $p \in (2,\infty)$에 대해, $L_p$-C$^*$-대수 $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$는 축소된 C$^*$-대수 $C(U_N^+)$와 동형이 아니며, 비단순성과 특성의 부재로 인해 그러하다.
• $2 \leq p < p' < \infty$일 때, $C^*_{p'}(\mathbb{F}U_N) \to C^*_p(\mathbb{F}U_N)$의 자연스러운 몫 사상은 단사가 아니며, 이는 대수들이 이국적임을 증명한다.
• $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$ 대수들은 특성이 없으며, $r$가 1에 가까울 때 $\sum_g r^{\ell(g)p} \dim(H_g)^2 < \infty$를 만족시키는 약한 $L_p$-양의 정의 함수가 존재하지 않기 때문이다.
• $L_p$-완비화를 통해 컴팩트 양자군 $U_N^+$에 대해 비가산수의 새로운 이국적 양자군 노름을 이중성에 의해 도출할 수 있다.
• $\mathbb{F}U_N$ 위에서 $L_p$-유계 양의 정의 함수의 특성화는 $\ell_q$-빠른 감쇠 성질과 관련된 체비셰프 다항식 $S_{2n}(rN)$의 행동에 의존한다.
• 다른 $p>2$에 대해 $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$ 대수들이 서로 동형이 아니라는 것은, 특정 양의 정의 함수가 $L_p$-완비화로 확장될 수 없기 때문이다.