[논문 리뷰] Lifts of Hilbert modular forms and application to modularity of abelian varieties

Clifton Cunningham, Lassina Dembélé|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 08.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 모듈러 형식의 상향과 고레스 표현의 증명을 통해 전체 실수 수체 위의 아벨 다양체의 모듈러성(모듈라리티)를 확립한다. 이는 관련 갈루아 표현이 자동형식에서 유래됨을 보여주며, 기저 전환, 모듈러성 상승 정리, 세르 추측을 통해 갈루아 표현이 모듈러임을 보이고, 이에 따라 아벨 다양체와 관련된 힐버트 자동형식 표현이 존재함을 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, we prove the existence of certain lifts of Hilbert cusp forms to general odd spin groups. We then use those lifts to provide evidence for a conjecture of Gross on the modularity of abelian varieties not of ${ m GL}_2$-type.

연구 동기 및 목표

• 갈루아 표현의 자동형식 상향을 이용하여 전체 실수 수체 위의 아벨 다양체의 모듈러성을 확립한다.
• 아벨 다양체와 관련된 갈루아 표현이 힐버트 자동형식 표현에서 유래됨을 보여준다.
• 전체 실수 체에 대해 모듈러성 상승 정리와 세르 추측을 적용하여 관련 갈루아 표현의 모듈러성을 도출한다.
• 세르 추측을 가정할 때, 갈루아 표현의 mod λ 축소의 반단순화가 모듈러임을 보인다.
• 아벨 다양체와 관련된 힐버트 모듈러 형식에서 GSpin 자동형식 표현을 구성한다.

제안 방법

• CM 확장의 갈루아 군 작용을 통한 갈루아 표현의 기저 전환을 사용한다.
• 갈루아 표현의 mod λ 축소의 반단순화를 적용하여 세르 추측을 통해 그것이 모듈러임을 보인다.
• [kt16]의 ℓ ≥ 3 및 [tho17]의 ℓ = 2에 대한 모듈러성 상승 정리를 활용하여 갈루아 표현의 모듈러성을 증명한다.
• 갈루아 표현의 모듈러성에 의해 아벨 다양체 A에 관련된 힐버트 자동형식 표현 π를 구성한다.
• 상향 정리(LABEL:thm:lifts)를 적용하여 π를 GSpin_{2g+1}(𝔸_E) 위의 GSpin 자동형식 표현 Π로 상향한다.
• L-함수의 등식을 확립한다: L(B, s) = ∏ L(Π, s), 아벨 다양체의 L-함수와 자동형식 L-함수를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 실수 체 위의 아벨 다양체에 관련된 갈루아 표현이 모듈러임을 증명할 수 있는가?
• RQ2 아벨 다양체에 관련된 갈루아 표현의 mod λ 축소가 어떤 조건에서 모듈러로 유지되는가?
• RQ3 힐버트 모듈러 형식은 어떻게 GSpin 군 위의 자동형식 표현으로 상향될 수 있는가?
• RQ4 세르 추측은 전체 실수 체 위의 갈루아 표현의 모듈러성 확립에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 갈루아 표현 상향을 통해 아벨 다양체와 자동형식 표현 사이에 대응 관계가 존재하는가?

주요 결과

• 아벨 다양체 A에 관련된 갈루아 표현 ρ_{A,λ}는 모든 소수 λ에 대해 모듈러이다.
• 갈루아 표현의 mod λ 축소 āρ_{A,λ}^{ss}는 전체 실수 체 E에 대해 세르 추측의 성립으로 인해 모듈러이다.
• ℓ ≥ 3일 때는 [kt16, 정리 1.1]에 의해, ℓ = 2일 때는 [tho17, 정리 6.1]에 의해 ρ_{A,λ}의 모듈러성이 유도된다.
• 갈루아 표현의 모듈러성에 의해 아벨 다양체 A에 관련된 힐버트 자동형식 표현 π가 존재한다.
• L(B, s) = ∏ L(Π, s)를 만족하는 GSpin_{2g+1}(𝔸_E) 위의 GSpin 자동형식 표현 Π가 존재하며, 이는 아벨 다양체 B의 L-함수와 자동형식 L-함수를 연결한다.
• 구성 과정은 아벨 다양체 B가 자동형식 상향 과정을 통해 모듈러임을 확인한다.