[논문 리뷰] Martingale representations in progressive enlargement setting: the role of the accessible jump times

Antonella Calzolari, Barbara Torti|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 점진적 확대 설정에서 마팅게일 표현을 조사하며, FVH-마팅게일의 다중성은 두 마팅게일 M과 N의 공통 가시적 점프 시간의 행동에 의해 결정됨을 보여준다. 동치의 분리 측도 하에서, 쿠수카의 표현 정리에 이러한 점프 시간의 역할을 통합함으로써, 그 예측 가능성과 정렬이 표현 구조에 어떻게 영향을 미치는지 드러낸다.

ABSTRACT

Let M and N be an F-martingale and an H-martingale respectively on the same probability space, both enjoying the predictable representation property. We discuss how, under the assumption of the existence of an equivalent decoupling measure for F and H, the nature of the jump times of M and N affects the representation of the FVH-martingales.~More precisely we show that the multiplicity in the sense of Davis and Varaiya of FVH depends on the behavior of the common accessible jump times of the two martingales. Then we propose an extension of Kusuoka's representation theorem.

연구 동기 및 목표

• 점진적 확대 프레임워크에서 가시적 점프 시간의 성격이 FVH-마팅게일 표현에 미치는 영향를 이해하는 것.
• 두 F- 및 H-마팅게일 간의 공통 점프 시간이 표현의 다중성에 끼치는 영향를 분석하는 것.
• 동치의 분리 측도 하에서 가시적 점프 시간의 역할을 통합함으로써 쿠수카의 표현 정리 확장하는 것.
• 예측 가능한 표현 성질이 확대된 필터링 설정에서 유지되는 조건를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 필터링 F와 H에 대해 동치의 분리 측도가 존재한다고 가정하여 의존성 구조를 분리할 수 있도록 한다.
• 각각의 F 및 H-마팅게일 M과 N에 대해 예측 가능한 표현 성질(PR P)을 분석한다.
• M과 N의 공통 가시적 점프 시간의 행동을 분석하여 FVH-마팅게일의 다중성에 미치는 영향를 결정한다.
• 데이비스와 바라야의 다중성 개념을 사용하여 점프 시간 정렬에 따라 FVH-마팅게일의 구조를 특성화한다.
• 가시적 점프의 예측 가능성과 동시 발생을 고려한 쿠수카의 표현 정리의 확장된 버전을 유도한다.
• 점차적 확대된 필터링에서 확률 미적분을 적용하여 점프 시간과 국소 마팅게일 성분을 포함한 표현 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 마팅게일 간의 공통 가시적 점프 시간은 점진적 확대에서 FVH-마팅게일의 다중성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 분리 측도 하에서 가시적 점프 시간은 FVH-마팅게일 표현의 구조를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 점프 시간의 예측 가능성은 확대된 필터링에서 FVH-마팅게일 표현을 어떻게 수정하는가?
• RQ4 쿠수카의 표현 정리가 점진적 확대에서 가시적 점프 시간의 영향를 포함하도록 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ5 점프 시간이 공유되거나 동기화될 경우 FVH-마팅게일에 대해 예측 가능한 표현 성질이 유지되는 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 데이비스와 바라야가 정의한 FVH-마팅게일의 다중성은 기초가 되는 F 및 H-마팅게일의 공통 가시적 점프 시간의 행동에 직접적으로 영향을 받는다.
• 공통 가시적 점프 시간이 예측 가능하고 정렬되어 있을 경우, FVH-마팅게일 표현의 구조는 더 엄격해지며, 이는 다중성을 감소시킨다.
• 동치의 분리 측도가 존재하면 의존성이 청소된 채로 분리가 가능하여 확장된 표현 공식을 도출할 수 있다.
• 제안된 쿠수카 정리의 확장은 가시적 점프 시간의 역할을 통합하여 점진적 확대에서의 표현에 대해 더 포괄적인 프레임워크를 제공한다.
• FVH-마팅게일의 표현은 M과 N의 개별 PRP뿐만 아니라, 그들의 가시적 점프 시간의 공동 예측 가능성에도 의존한다.
• 이 논문은 공통 가시적 점프의 정렬성과 예측 가능성이 FVH-마팅게일이 유일한 표현 또는 다중 표현을 갖는지를 결정하는 데 핵심적인 역할을 한다고 규명한다.