[논문 리뷰] Maximum Likelihood Estimation for Hawkes Processes with self-excitation or inhibition

Bonnet, Anna, Anna Bonnet외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 09.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 28인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 자기 자극과 자기 억제를 모두 갖는 단변량 하크스 과정에 대한 정확한 최대우도추정법을 제안한다. 복구 시점을 도입하여 지수 핵함수에 대해 닫힌 형태의 보정함수를 유도한다. 이 방법은 특히 강도가 자주 0이 되는 경우에 근사 방법보다 추정 정확도가 크게 향상되며, 뇌과학 및 금융 분야에서의 실제 적용 가능성이 있는 합성 데이터 실험에서 뛰어난 성능을 보였다.

ABSTRACT

In this paper, we present a maximum likelihood method for estimating the parameters of a univariate Hawkes process with self-excitation or inhibition. Our work generalizes techniques and results that were restricted to the self-exciting scenario. The proposed estimator is implemented for the classical exponential kernel and we show that, in the inhibition context, our procedure provides more accurate estimations than current alternative approaches.

연구 동기 및 목표

• 자기 자극과 자기 억제를 모두 다룰 수 있는 단변량 하크스 과정에 대한 최대우도추정 절차를 개발하기 위해.
• 특히 단변량 경우에서 억제성 하크스 과정에 대한 통계적 추정 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 기저 강도 함수와 복구 시점을 도입하여 정확한 우도 계산을 가능하게 하고, 정밀한 매개변수 추정을 가능하게 하기 위해.
• 음수 강도 값을 가정하거나 억제를 숨겨진 변수로 간주하는 기존의 근사 방법을 개선하기 위해.
• 신경 세포의 스파iking이나 마켓 마이크로스트럭처 효과와 같은 반발력 또는 억제성 상호작용을 갖는 현상의 정확한 모델링을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 조건부 강도의 클리핑되지 않은 버전인 기저 강도 함수 $\lambda^\star(t)$ 를 도입하여 음수 값도 허용한다.
• 각 이벤트 $T_k$ 이후에 강도 $\lambda(t)$ 가 다시 엄격히 양수가 되는 첫 번째 시점인 복구 시점 $T_k^\star$ 를 정의한다.
• 복구 시점을 활용하여 관측 간격을 강도가 0이거나 양수인 영역으로 분할함으로써 정확한 보정함수 계산이 가능하게 한다.
• 단조적 지수 핵함수 하에서 보정함수 $\Lambda(t)$ 의 닫힌 형태 표현식을 유도하며, 이는 정확한 우도 평가에 필수적이다.
• 복구 시점의 명시적 구조와 강도의 양수 부분을 활용하여 정확한 우도 함수를 최대화한다.
• 오픈소스 코드를 포함한 파이썬 구현을 통해 재현 가능성을 확보하고 실제 응용에 적합한 실용성을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 함수에서 강도가 음수가 될 수 있는 경우, 억제성 핵함수를 갖는 단변량 하크스 과정에 대해 정확한 최대우도추정 절차를 개발할 수 있는가?
• RQ2 복구 시점은 억제가 존재하는 상황에서 보정함수와 우도의 정확한 계산을 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ3 강도가 억제로 인해 자주 0이 되는 경우, 정확한 MLE 방법이 기존 근사 방법보다 뛰어나게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 기저 강도와 억제 강도가 합성 데이터에서 추정 정확도에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 강도가 높은 null 강도 간격을 갖는 상황에서 정확한 방법과 근사된 우도 간의 성능 비교는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 제안된 정확한 MLE 방법은 강도 함수가 자주 0이 되는 경우, 특히 억제 성향이 강한 상황에서 근사 우도 접근법보다 훨씬 뛰어난 매개변수 추정 성능을 보였다.
• 높은 억제를 갖는 모델(예: $\bar{\alpha} = -2.5$, $\bar{\beta} = 1.8$)에서는 근사 방법이 극단적으로 부정확한 추정치($\hat{\alpha} \approx -8.15 \times 10^6$)를 도출했지만, 정확한 방법은 안정적이고 정확한 추정을 유지했다.
• 기저 강도가 비음수인 경우(즉, 억제가 없는 경우), 두 방법 간 성능이 유사하게 나타나, 자기 자극적 경우에서 정확한 방법의 타당성을 확인했다.
• 정확한 방법의 적합도 검정 p-값은 모든 시나리오에서 0.5 이상을 유지하여 유의미한 적합도 부족이 없음을 시사했고, 반면 근사 방법은 높은 억제 상황에서 부적합한 결과를 보였다(예: p-값 = 5.12×10⁻⁶).
• 강도가 시간의 대부분 동안 0이 되는 경우, 특히 $\alpha$와 $\beta$에 대해 정확한 방법의 상대 절대 오차가 일관되게 낮았다.
• 강한 억제가 존재하는 도전적인 상황에서도 높은 정확도를 달성하여, 합성 데이터 실험에서 강건성과 신뢰성을 입증했다.