[논문 리뷰] Modular flavor symmetric models

Tatsuo Kobayashi, Morimitsu Tanimoto|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 07.

Particle physics theoretical and experimental studiesPhysics and Astronomy인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 모듈러 군(A₄, S₄ 등)을 기반으로 한 모듈러 플레이버 대칭 모델을 제안하여 표준모형 내 쿼크 및 렙톤 질량과 혼합 각도를 설명한다. 모듈러 형식과 이들이 이산 대칭에 대해 가지는 변환 성질을 활용함으로써, τ=ω와 같은 고정점에서 현실적인 텍스처 구조를 도출하며, 모듈러스 안정화를 통해 중성미자 혼합 패턴과 CP 위반을 성공적으로 재현한다. 이 틀은 고차원 연산자를 포함하는 SMEFT로 확장 가능하여, 스트링 이론 내에서의 맛 구조와 뒷받침되는 물리학을 통합적으로 다룰 수 있다.

ABSTRACT

We review the modular flavor symmetric models of quarks and leptons focusing on our works. We present some flavor models of quarks and leptons by using finite modular groups and discuss the phenomenological implications. The modular flavor symmetry gives interesting phenomena at the fixed point of modulus. As a representative, we show the successful texture structure at the fixed point $τ= ω$. We also study CP violation, which occurs through the modulus stabilization. Finally, we study SMEFT with modular flavor symmetry by including higher dimensional operators.

연구 동기 및 목표

• A₄, S₄, A₅와 같은 유한 모듈러 군을 사용하여 쿼크 및 렙톤의 맛 모델을 구축하기.
• 4차원 효과적 이론에서 모듈러 대칭을 통해 쿼크 및 렙톤 질량 계층과 혼합 각도의 기원을 설명하기.
• 모듈러 대칭적 컴actification에서 발생하는 모듈러스 안정화에 기인한 CP 위반의 기원을 연구하기.
• SMEFT에 고차원 연산자를 포함시키기 위해 모듈러 대칭을 활용하여 허용되는 쿠플링을 제약하는 것.
• 모듈러 대칭을 칼라비-야우 컴팩티피케이션의 기하 대칭으로 식별함으로써 모델을 스트링 이론과 연결하기.

제안 방법

• SL(2,Z)에 대해 변환되는 모듈러스 τ의 함수인, A₄, S₄, A₅ 등의 유한 모듈러 군 Γₙ ≅ A₄, S₄, A₅ 등의 모듈러 형식을 사용한다.
• A₄의 표현으로서 변환하는 특정 무게(예: 무게 2, 4, 6, 8, 10)를 가진 모듈러 형식을 사용하여 쿼크 및 렙톤의 질량 행렬을 구성한다.
• 군 이론과 모듈러 불변성과의 일관성을 확보하기 위해, 무게 2 형식에 대해 Y₂² + 2Y₁Y₃ = 0 조건을 도입한다.
• 대칭이 강화되고 텍스처 제로가 자연스럽게 나타나는 고정점 τ = ω(여기서 ω = e^{2πi/3})에서 모듈러 형식을 평가한다.
• 모듈러스 τ의 복소 구조 모듈러스가 CP를 자동으로 깨뜨리는 방식으로 CP 위반을 분석한다.
• 스트링 이론적 3점 함수에서 유도된 고차원 연산자를 사용하여, 모듈러 대칭이 허용되는 쿠플링을 제약함으로써 SMEFT에 고차원 연산자를 통합한다.

Figure 1: Lattice $\Lambda$ and two basis vectors, $e_{1}$ and $e_{2}$ .

실험 결과

연구 질문

• RQ1 A₄와 같은 유한 모듈러 군을 기반으로 한 모듈러 대칭은 관측된 쿼크 및 렙톤 질량 계층과 혼합 각도를 어떻게 설명할 수 있는가?
• RQ2 τ = ω 고정점은 어떤 방식으로 텍스처 제로를 포함하는 현실적인 맛 구조를 생성하는가?
• RQ3 모듈러 맛 모델에서 CP 위반은 어떻게 발생하며, 스트링 컴팩티피케이션의 모듈러스 안정화와 어떻게 연결될 수 있는가?
• RQ4 SMEFT 내 고차원 연산자는 모듈러 대칭에 대해 어떻게 변환되며, BSM 물리학에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ5 모듈러 맛 대칭은 저에너지 맛 물리현상과 스트링 이론 컴팩티피케이션을 통합하는 틀을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• τ = ω 고정점에서 A₄의 모듈러 형식은 중성미자 혼합에서 트라이바이맥시멀 혼합 패턴을 매우 정확하게 재현하는 텍스처를 생성한다.
• A₄에 대한 무게 2 형식 Y₁, Y₂, Y₃는 Y₂² + 2Y₁Y₃ = 0 조건을 만족하며, 이는 군의 구조와의 일관성에 필수적이며 예측 가능한 질량 행렬을 이끈다.
• A₄ 모듈러 형식의 q-전개는 특정 계수를 가진다: Y₁ = 1 + 12q + 36q² + ..., Y₂ = -6q^{1/3}(1 + 7q + ...), Y₃ = -18q^{2/3}(1 + 2q + ...), 여기서 q = exp(2πiτ)이며, 이는 모듈러 불변성을 확인한다.
• τ = ω에서 모듈러 형식은 대칭적이고 예측 가능한 질량 행렬의 구조를 이끌어내며, 중성미자 혼합 각도에 대한 성공적인 예측이 가능하다.
• CP 위반은 모듈러스 τ의 복소 안정화를 통해 발생하며, 이는 기본 이론이 CP를 보존하더라도 진공 기대값이 CP 대칭을 깨뜨린다.
• SMEFT 확장은 모듈러 대칭이 고차원 연산자를 제어함으로써 허용되는 항의 수를 줄이고, 맛 변화 과정에 대한 자연스러운 억제 메커니즘을 제공한다.

Figure 2: Basis change with $(a,b,c,d)=(1,1,0,1)$ corresponds to $T$ .