[논문 리뷰] Moduli stacks of étale (phi,Gamma)-modules and the existence of crystalline lifts

Matthew Emerton, Toby Gee|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 29인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $p$-adic으로 완비된 링 위에서 에탈레 $(\varphi,\Gamma)$-모듈의 모듈리 스택을 구축하여 기하적 구조를 규명하고, 갈루아 표현과 연관지운다. 주요 기여는 이러한 스택의 기하학적 성질을 통해, 특히 기약 성분과 변형 링을 분석하여 모 $p$ 갈루아 표현에 대한 크리스탈린 리프트의 존재를 증명하는 것이다.

ABSTRACT

We construct stacks which algebraize Mazur's formal deformation rings of local Galois representations. More precisely, we construct Noetherian formal algebraic stacks over Spf Zp which parameterize étale (phi,Gamma)-modules; the formal completions of these stacks at points in their special fibres recover the universal deformation rings of local Galois representations. We use these stacks to show that all mod p representations of the absolute Galois group of a p-adic local field lift to characteristic zero, and indeed admit crystalline lifts. We also discuss the relationship between the geometry of our stacks and the Breuil-Mézard conjecture.

연구 동기 및 목표

• 모듈리 스택 $\mathcal{X}_d$를 $p$-adic으로 완비된 $\mathbf{Z}_p$-대수 $A$를 계수로 가지는 랭크 $d$의 프로젝티브 에탈레 $(\varphi,\Gamma)$-모듈에 대해 구성함으로써 갈루아 변형 이론의 글로벌 기하적 프레임워크를 제공한다.
• 이 스택들이 전통적인 국소 무한소 데이터를 넘어서 글로벌 기하적 성질을 포착한다는 것을 입증한다.
• 모듈리 스택 $\mathcal{X}_{d,\mathrm{red}}$의 기하학적 성질을 분석하여, 모 $p$ 갈루아 표현에 대한 크리스탈린 리프트의 존재를 증명한다.
• 이 스택의 기하학을 세르의 추측의 무게 부분과 기하학적 브뤼일-메자르 추측과 연관지운다.
• 모듈리 스택 $\mathcal{X}_d$가 인디-대수적 스택임을 보이고, 그 감소된 섬유가 크리스탈린 및 준정적 유형에 따른 분할을 가짐을 보인다.

제안 방법

• 모듈리 스택 $\mathcal{X}_d$를 $\mathrm{Spf}\,\mathbf{Z}_p$ 위의 군대에 올린 카테고리로 구성하여, $p$-adic으로 완비된 $\mathbf{Z}_p$-대수 $A$를 계수로 가지는 랭크 $d$의 프로젝티브 에탈레 $(\varphi,\Gamma)$-모듈을 매개변수화한다.
• 브뤼일-키신-파르그스 모듈 이론과 $G_K$-작용의 표준 확장을 이용하여 $(\varphi,\Gamma)$-모듈을 잠재적으로 준정적 갈루아 표현과 연결한다.
• 헤르 복합체와 코homological 도구를 적용하여 가족의 확장과 변형 공간의 차원을 연구한다.
• 거의 갈루아 강하와 프로베누스 강하 기법을 사용하여 $\varphi$-모듈과 그 계수의 구조를 분석한다.
• 지정된 허드-테인 무게 $\underline{\lambda}$를 가진 크리스탈린 $(\varphi,\Gamma)$-모듈을 매개변수화하는 스택 $\mathcal{X}_{d}^{\mathrm{crys},\underline{\lambda}}$를 도입한다.
• 크리스탈린 변형 링에서 $H^2$의 섬유 차원을 분석하여 크리스탈린 리프트의 존재를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전통적인 변형 링보다 더 많은 기하적 정보를 포착하는 글로벌 모듈리 스택 $\mathcal{X}_d$를 구성할 수 있는가?
• RQ2 기약 갈루아 표현들은 모듈리 스택 $\mathcal{X}_{d,\mathrm{red}}$ 내에서 기약 표현들의 극한으로 나타나는가?
• RQ3 모 $p$ 갈루아 표현이 어떤 조건에서 크리스탈린 리프트를 가지며, 이는 모듈리 스택의 기하학적 성질에 어떻게 반영되는가?
• RQ4 갈루아 표현의 관성형과 허드-테인 형은 관련 $(\varphi,\Gamma)$-모듈과 그 모듈리 스택의 구조에 어떻게 코딩되는가?
• RQ5 기하학적 브뤼일-메자르 추측과 크리스탈린 리프트의 존재 사이의 관계는 모듈리 스택의 맥락에서 어떻게 설명되는가?

주요 결과

• 에탈레 $(\varphi,\Gamma)$-모듈의 모듈리 스택 $\mathcal{X}_d$는 $\mathrm{Spf}\,\mathbf{Z}_p$ 위의 인디-대수적 스택이며, 갈루아 표현에 대한 글로벌 기하적 프레임워크를 제공한다.
• 감소된 섬유 $\mathcal{X}_{d,\mathrm{red}}$의 기약 성분은 잠재적으로 준정적 유형에 대응하며, 그 기하학은 크리스탈린 리프트의 존재를 반영한다.
• 모든 모 $p$ 갈루아 표현 $\overline{\rho}$에 대해, 허드-테인 무게에 대한 적절한 조건 하에서 스택 $\mathcal{X}_{d,\mathrm{red}}$는 크리스탈린 리프트를 매개변수화하는 비어 있지 않은 열린 부분스택을 가진다.
• 크리스탈린 변형 링에서 $H^2$의 섬유 차원은 유계이며, 이 유계성은 잠재적으로 대각선형 가능한 크리스탈린 리프트의 존재를 암시한다.
• 갈루아 표현 $V(M)$의 관성형과 허드-테인 형은 각각 $I_{L/K}$의 작용과 $D_K$의 필터링을 통해 관련된 $(\varphi,\Gamma)$-모듈 $M$을 통해 결정된다.
• 스택 $\mathcal{X}_{d}^{\mathrm{crys},\underline{\lambda}}$는 허드-테인 무게 $\underline{\lambda}$를 가진 크리스탈린 표현의 기대되는 모듈리 공간의 기하학적 실현을 제공하며, 키신의 추측을 실현한다.