[논문 리뷰] New P$c$N and AP$c$N functions over finite fields

Yanan Wu, Nian Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 12.

Coding theory and cryptography참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 순환 기법, 스위치 방법, 일반화된 AGW 기준을 사용하여 유한체 위에서 완전 $c$-비선형(P$c$N) 및 거의 완전 $c$-비선형(AP$c$N) 함수의 새로운 구성법을 제시한다. 하나의 P$c$N 함수 클래스와 네 개의 AP$c$N 함수 클래스를 도입하였으며, AGW 기준을 통해 추가로 네 개의 클래스를 확보하였고, 이들 모두 낮은 $c$-미분 균일성을 가지며, 일부 함수는 애핀 동치 하에 새로운 것으로 입증되었다.

ABSTRACT

Functions with low $c$-differential uniformity were proposed in $2020$ and attracted lots of attention, especially the P$c$N and AP$c$N functions, due to their applications in cryptography. The objective of this paper is to study P$c$N and AP$c$N functions. As a consequence, we propose a class of P$c$N functions and four classes of AP$c$N functions by using the cyclotomic technique and the switch method. In addition, four classes of P$c$N or AP$c$N functions are presented by virtue of (generalized) AGW criterion.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위에서 낮은 $c$-미분 균일성을 가지는 새로운 P$c$N 및 AP$c$N 함수 클래스를 구성하여 차별 암호 분석에 대한 저항력을 향상시키는 것.
• 기존의 단항식을 초월하여 다항식 기반의 P$c$N 및 AP$c$N 함수를 개발하여 기존 구성법을 확장하는 것.
• 특히 순환 기법, 스위치 방법, 일반화된 AGW 기준과 같은 고급 대수 도구를 활용하여 $c$-미분 성질이 증명 가능한 새로운 함수를 체계적으로 생성하는 것.
• 기존 결과와의 비교를 통해 알지브라적 차수, $c$-값, 체의 특성 등을 바탕으로 구성된 함수의 신규성을 검증하고, 애핀 동치 하에서의 불변성을 탐색하는 것.

제안 방법

• 순환 기법과 스위치 방법을 활용하여 $c \in \mathbb{F}_q \setminus \{1\}$ 인 경우의 $c$-미분 방정식 ${}_{c}D_{a}F(x) = b$ 를 분석하고 해결함으로써 균일성 성질을 확보한다.
• 일반화된 AGW 기준을 적용하여 $\phi(x)$ 가 특정 집합 $J$ 를 순열로 만들고 $\ker(\phi) \cap \mathbb{F}_q = \{0\}$ 인지, 또는 $\mathbb{F}_q$ 위에서 2대1이 되는지 확인함으로써 새로운 P$c$N 및 AP$c$N 함수를 구성한다.
• 구조 $F(x) = u\phi(x) + \sum_{i=1}^{t} g\left(x^q - x\right)^{(q^n - 1)/d_i}$ 를 사용하여 $c$-미분 균일성이 1 또는 2인 함수를 생성한다.
• 트레이스 함수 $\operatorname{Tr}^{q^n}_q(x)$ 와 다항식 복합을 활용하여 조각 함수를 정의함으로써 낮은 $c$-미분 균일성을 유지한다.
• 명시적 예시를 통해 $\mathbb{F}_{2^4}$ 와 $\mathbb{F}_{q^3}$ 에서의 구성법을 검증하고, 특정 $c$ 와 체 매개변수에서 AP$c$N 성질을 입증한다.
• 알지브라적 차수, $c$-값, 특성 $p$ 를 사용하여 신규 함수와 기존 함수를 비교함으로써 애핀 변환 하에서의 비동치성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 다항식을 초월하여, 유한체 위에서 대수 기법을 활용해 새로운 P$c$N 및 AP$c$N 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 순환 기법과 스위치 방법은 낮은 $c$-미분 균일성을 가지는 함수를 어떻게 구성하는가?
• RQ3 일반화된 AGW 기준 및 그 변형은 P$c$N 및 AP$c$N 함수의 체계적 생성에 얼마나 넓은 범위로 기여하는가?
• RQ4 새로 구성된 함수들이 애핀 또는 CCZ-동치 관계 하에서 알려진 함수들과 동치인가, 특히 애핀 치환 $L$ 에 대해 $F \circ L(x)$ 를 고려할 때 어떻게 되는가?
• RQ5 $\phi(x)$ 의 핵과 상사 구조가 AGW 기반 구성에서 $c$-미분 균일성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 순환 기법과 스위치 방법을 활용하여 $c$-미분 균일성이 정확히 1인 새로운 P$c$N 함수 클래스 하나를 구성하였다.
• 동일한 방법을 통해 $c$-미분 균일성이 2인 새로운 AP$c$N 함수 클래스 네 개를 제안하였다.
• 일반화된 AGW 기준을 활용하여 $\phi(x)$ 와 $g(x)$ 의 성질에 따라 균일성이 1 또는 2인 P$c$N 또는 AP$c$N 함수 클래스 네 개를 유도하였다.
• $\mathbb{F}_{2^4}$ 에서의 예시를 통해 $F(x) = x^2 + x + (x^q - x)^{(q^3 - 1)/3} + (x^q - x)^{(q^3 - 1)/5}$ 가 모든 $c \in \mathbb{F}_q \setminus \{1\}$ 에 대해 AP$c$N 임을 확인하였다.
• 구성된 함수들은 알지브라적 차수, $c$-값, 체의 특성에서의 차이를 바탕으로 애핀 변환 $F \circ L(x)$ 하에서 알려진 함수들과 동치가 아니며, 이는 확인되었다.
• 논문은 $c$-미분 균일성이 EA-또는 CCZ-동치 하에 유지되지 않음을 입증하였지만, 애핀 치환과의 복합에서는 유지됨을 보였으며, 이는 새로운 함수의 성립성을 검증하는 데 기여한다.