[논문 리뷰] Non-Haar $p$-adic wavelets and their application to pseudo-differential operators and equations

Andrei Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich|ArXiv.org|2008. 08. 25.

advanced mathematical theories참고 문헌 10인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $\mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$에서 컴팩트리어드된 비-하르(non-Haar) $p$-진 웨이브릿 기저의 새로운 가족을 구축하며, 특히 분수형 연산자인 $p$-진 미분-논미분 연산자의 고유함수로서의 역할을 규명한다. 저자들은 웨이브릿이 고유함수일 조건을 도출하고, 이를 이용해 선형 및 양성선형 $p$-진 미분-논미분 방정식의 명시적 해를 구성한다.

ABSTRACT

In this paper a countable family of new compactly supported {\em non-Haar} $p$-adic wavelet bases in ${\cL}^2(\bQ_p^n)$ is constructed. We use the wavelet bases in the following applications: in the theory of $p$-adic pseudo-differential operators and equations. Namely, we study the connections between wavelet analysis and spectral analysis of $p$-adic pseudo-differential operators. A criterion for a multidimensional $p$-adic wavelet to be an eigenfunction for a pseudo-differential operator is derived. We prove that these wavelets are eigenfunctions of the fractional operator. In addition, $p$-adic wavelets are used to construct solutions of linear and semi-linear pseudo-differential equations. Since many $p$-adic models use pseudo-differential operators (fractional operator), these results can be intensively used in these models.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트리어드된 비-하르(non-Haar) 웨이브릿 기저의 새로운 클래스를 $\mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$에서 개발하여 $p$-진 해석학에 적용 가능하게 한다.
• 웨이브릿 분석과 $p$-진 미분-논미분 연산자의 스펙트럼 이론 사이의 관계를 확립한다.
• 일반적인 미분-논미분 연산자의 고유함수로써 $p$-진 웨이브릿이 될 조건을 도출한다.
• 구축된 웨이브릿을 이용해 선형 및 양성선형 $p$-진 미분-논미분 방정식을 해결한다.
• 분수형 연산자와 미분-논미분 방정식에 기반한 모델에서 $p$-진 웨이브릿의 적용 가능성을 확장한다.

제안 방법

• 어머니 웨이브릿 함수의 확대와 이동을 이용해 $\mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$에서 가чёт한 비-하르(non-Haar) $p$-진 웨이브릿 기저의 가족을 구성한다.
• 덧셈적 특성함수 $\chi_p$와 특성함수 $\Omega(|\cdot|_p)$를 이용해 웨이브릿을 정의하고, $\mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$의 기저를 형성한다.
• 스펙트럼 분석을 통해 다차원 $p$-진 웨이브릿이 미분-논미분 연산자의 고유함수일 조건을 도출한다.
• 연산자의 기호와 웨이브릿의 구조를 이용해 구성된 웨이브릿이 분수형 $p$-진 연산자의 고유함수임을 증명한다.
• 웨이브릿 기저를 사용해 $\Phi^\prime(\mathbb{Q}_p^n)$에서의 급수 전개 형태로 $p$-진 미분-논미분 방정식의 해를 표현한다.
• 웨이브릿 계수와 연산자 기호를 이용해 양성선형 $p$-진 미분-논미분 방정식을 포함하는 초기값 문제의 명시적 해 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트리어드된 비-하르(non-Haar) $p$-진 웨이브릿 기저의 새로운 가족을 $\mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$에서 구성할 수 있는가?
• RQ2 언제 $p$-진 웨이브릿이 미분-논미분 연산자의 고유함수인가?
• RQ3 어떻게 $p$-진 웨이브릿을 선형 및 양성선형 $p$-진 미분-논미분 방정식을 해결하는 데 활용할 수 있는가?
• RQ4 $p$-진 웨이브릿과 분수형 연산자 사이의 스펙트럼적 관계는 무엇인가?
• RQ5 양성선형 $p$-진 미분-논미분 방정식을 포함하는 초기값 문제의 해는 웨이브릿 계수로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 컴팩트리어드된 비-하르(non-Haar) $p$-진 웨이브릿 기저의 가чёт한 가족이 $\mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$에서 명시적으로 구성된다.
• 연산자의 기호와 웨이브릿의 구조를 통해 분수형 $p$-진 미분-논미분 연산자의 고유함수임이 증명된다.
• 기호와 웨이브릿 계수를 바탕으로 일반적인 미분-논미분 연산자의 고유함수로써 $p$-진 웨이브릿이 될 조건이 도출된다.
• 리조르킨 공간 $\Phi^\prime(\mathbb{Q}_p^n)$에서의 웨이브릿 전개를 이용해 선형 및 양성선형 $p$-진 미분-논미분 방정식의 명시적 해가 구성된다.
• 양성선형 $p$-진 미분-논미분 방정식을 포함하는 초기값 문제에 대해 유한한 웨이브릿 계수 합으로 표현되는 닫힌 형태의 해 공식이 도출된다.
• 연산자 기호 $\mathcal{A} \to 0$의 극한에서도 해 공식이 유효하며, 영 연산자 경우를 포함한다.