[논문 리뷰] Non-hyperbolic Iterated Function Systems: attractors and stationary measures

Edgar Matias, Lorenzo J. Díaz|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 09.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비초기성 반복함수계(IFS)를 분석하기 위한 프레임워크를 제안한다. 주로 직경이 0으로 수렴하는 약한 초기성 수열에 초점을 맞추며, 이러한 IFS가 유일한 엄밀한 급속수렴집합을 가지는 조건을 설정하고, 목표집합을 코딩 사상에 의한 상의 폐쇄로 특성화한다. 주요 기여는 바른슬리-허치슨 연산자의 전역적으로 수렴하는 고정점이 존재하는 필요 및 충분조건을 제시함으로써, 고전적 결과를 초기성 조건을 만족하지 않는 설정으로 확장하는 것이다.

ABSTRACT

We consider iterated function systems $\mathrm{IFS}(T_1,\dots,T_k)$ consisting of continuous self maps of a compact metric space $X$. We introduce the subset $S_{\mathrm{t}}$ of {\emph{weakly hyperbolic sequences}} $ξ=ξ_0\ldotsξ_n \ldots \in Σ_k^+$ having the property that $\bigcap_n T_{ξ_{0}}\circ\cdots\circ T_{ξ_{n}}(X)$ is a point $\{π(ξ)\}$. The target set $π(S_{\mathrm{t}})$ plays a role similar to the semifractal introduced by Lasota-Myjak. Assuming that $S_{\mathrm{t}} e \emptyset$ (the only hyperbolic-like condition we assume) we prove that the IFS has at most one strict attractor and we state a sufficient condition guaranteeing that the strict attractor is the closure of the target set. Our approach applies to a large class of genuinely non-hyperbolic IFSs (e.g. with maps with expanding fixed points) and provides a necessary and sufficient condition for the existence of a globally attracting fixed point of the Barnsley-Hutchinson operator. We provide sufficient conditions under which the disjunctive chaos game yields the target set (even when it is not a strict attractor). We state a sufficient condition for the asymptotic stability of the Markov operator of a recurrent IFS. For IFSs defined on $[0,1]$ we give a simple condition for their asymptotic stability. In the particular case of IFSs with probabilities satisfying a "locally injectivity" condition, we prove that if the target set has at least two elements then the Markov operator is asymptotically stable and its stationary measure is supported in the closure of the target set.

연구 동기 및 목표

• 초기성 IFS에 대한 고전적 결과를 수축 및 팽창 영역가지 포함하는 진정한 비초기성 시스템으로 확장하기 위해.
• 전역 균일 수축이 없는 IFS에서 급속수렴집합과 정적 측도의 구조를 특성화하기 위해.
• 비초기성 조건이 존재하더라도 바른슬리-허치슨 연산자가 유일한 전역 급속수렴집합을 가지는 조건을 규명하기 위해.
• 마르코프 연산자의 점근적 안정성과 혼돈 게임이 목표집합으로 수렴하는 데 필요한 충분조건을 설정하기 위해.
• 비초기성 설정에서 목표집합, 그 폐쇄, 엄밀한 급속수렴집합 및 콘리 급속수렴집합 간의 관계를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 수렴하는 반복 이미지의 직경이 무한히 증가할 때 0으로 수렴하는 수열 $ \xi $에 대해, $ S_{\mathrm{t}} \subset \Sigma_k^+ $ 라는 약한 초기성 수열의 집합을 정의한다: $ \mathrm{diam}(T_{\xi_0} \circ \cdots \circ T_{\xi_n}(X)) \to 0 $ as $ n \to \infty $.
• 코딩 사상 $ \pi $에 의한 상의 이미지로 정의된 목표집합 $ A_{\mathrm{t}} = \pi(S_{\mathrm{t}}) $ 를 정의한다. 이는 수열을 $ X $ 내의 점으로 매핑한다.
• 바른슬리-허치슨 연산자 $ \mathcal{B}_{\mathfrak{F}} $ 의 연속성을 이용하여 컴팩트 집합 위에서 반복의 수렴을 분석하고 급속수렴집합을 특성화한다.
• 위상수학적 및 측도론적 기법을 적용하여 마르코프 연산자의 점근적 안정성과 정적 측도를 연구한다.
• 기호 동역학과 잔여집합 추론을 활용하여, $ S_{\mathrm{t}} \neq \emptyset $ 이면 $ S_{\mathrm{t}} $ 가 $ \Sigma_k^+ $ 에서 잔여집합임을 보이며, 이는 완전한 약한 초기성 조건이 없더라도 성립한다.
• 구체적인 예시를 $[0,1]$ 에서 구성하여, $ A_{\mathrm{t}} \subsetneq \overline{A_{\mathrm{t}}} $ 또는 $ A_{\mathrm{t}} = \overline{A_{\mathrm{t}}} = [0,1] $ 가 되는 경우를 보여주며, 복합적 구성에서 국소적 단사성과 수축의 역할을 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비초기성 IFS가 유일한 엄밀한 급속수렴집합을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 목표집합 $ A_{\mathrm{t}} $ 는 언제 폐쇄된 상과 같고, 언제 그 진부분집합이 되는가?
• RQ3 목표집합이 엄밀한 급속수렴집합이 아니더라도 혼돈 게임이 목표집합으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 재귀적 IFS의 마르코프 연산자가 점근적으로 안정해지는 조건은 무엇인가?
• RQ5 국소적 단사성 조건을 만족하는 IFS에서 정적 측도의 지지집합과 목표집합의 폐쇄 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 만약 $ S_{\mathrm{t}} \neq \emptyset $ 이면, IFS는 최대 하나의 엄밀한 급속수렴집합을 가지며, 이때 충분조건이 존재하여 엄밀한 급속수렴집합이 목표집합 $ A_{\mathrm{t}} $ 의 폐쇄임을 보장한다.
• 바른슬리-허치슨 연산자가 전역적으로 수렴하는 고정점을 가지는 것은 $ S_{\mathrm{t}} \neq \emptyset $ 이고 목표집합이 IFS에 대해 불변일 때에만 성립한다.
• $[0,1]$ 에서의 IFS에 대해서는, 함수들의 수축 및 팽창 행동에 대한 단순한 조건이 마르코프 연산자의 점근적 안정성을 보장한다.
• IFS가 '국소적 단사성' 조건을 만족하고 $ A_{\mathrm{t}} $ 가 최소 두 개의 점을 포함하면, 마르코프 연산자는 점근적으로 안정하고 그 정적 측도는 $ \overline{A_{\mathrm{t}}} $ 에 지지된다.
• 예제 6.2에서 $ A_{\mathrm{t}} $ 는 $[0,1]$ 에 밀집되어 있지만 $ 1 \notin A_{\mathrm{t}} $ 이므로 $ A_{\mathrm{t}} \subsetneq \overline{A_{\mathrm{t}}} $ 임을 보여준다.
• 예제 6.3에서 $ A_{\mathrm{t}} = [0,1] $ 이며, 이는 일부 복합함수가 균일하게 수축될 경우 비약한 초기성 IFS라도 목표집합의 폐쇄가 전체가 될 수 있음을 보여준다.