[논문 리뷰] Non-Identity Check Remains QMA-Complete for Short Circuits

Zhengfeng Ji, Xiaodi Wu|ArXiv.org|2009. 06. 30.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 33인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 각 게이트가 Ω(log n) 비트의 정밀도로 지정될 경우, 상수 깊이 양자 회로에 대해서도 비자기성 검사 문제(non-identity check problem)가 QMA-완전 그대로 유지됨을 증명한다. 1차원 국소 해밀토니안 문제에서의 감소와 소로바이-키타에프 정리의 활용을 통해, 유니버설 게이트 집합을 사용할 경우 다항로그 및 로그 깊이 회로에서도 문제의 QMA-완전성은 유지됨을 보이며, 짧은 깊이의 양자 계산에 대한 기본적인 딱딱함의 한계를 설정한다.

ABSTRACT

The Non-Identity Check problem asks whether a given a quantum circuit is far away from the identity or not. It is well known that this problem is QMA-Complete \cite{JWB05}. In this note, it is shown that the Non-Identity Check problem remains QMA-Complete for circuits of short depth. Specifically, we prove that for constant depth quantum circuit in which each gate is given to at least $Ω(\log n)$ bits of precision, the Non-Identity Check problem is QMA-Complete. It also follows that the hardness of the problem remains for polylogarithmic depth circuit consisting of only gates from any universal gate set and for logarithmic depth circuit using some specific universal gate set.

연구 동기 및 목표

• 비자기성 검사 문제의 QMA-완전성이 상수 깊이의 양자 회로에 대해서도 유지되는지 확인하는 것.
• 게이트 정밀도와 유니버설 게이트 집합 제약 조건이 비자기성 검사 문제의 복잡성에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 일반적인 회로에서 알려진 QMA-완전성 결과를 짧은 깊이의 양자 회로라는 물리적으로 관련 있는 영역으로 확장하는 것.
• 비자기성 검사 문제의 딱딱함이 회로 깊이 제약과 게이트 집합 제약 하에서도 견고함을 유지하는지 확인하는 것.

제안 방법

• 기존에 QMA-완전으로 알려진 1차원 국소 해밀토니안 문제를 상수 깊이 양자 회로에서의 비자기성 검사 문제로 감소시키는 것.
• 시간 진동을 상수 깊이로 시뮬레이션하기 위해 트로터 근사법을 사용하여 $ U_H = e^{iH_{\text{even}}t}e^{iH_{\text{odd}}t} $ 형태의 유니터리 회로를 구성하는 것.
• 스펙트럼 분석과 고유값 범위의 논의를 통해 해밀토니안 문제의 약속 갭을 회로의 위상 범위 $ \alpha(U_H) $ 와 연결하는 것.
• 소로바이-키타에프 정리를 적용하여 임의의 게이트를 유한한 유니버설 게이트 집합으로 근사시키며, 오차 범위가 역다항식 갭 내에 유지되도록 보장하는 것.
• 게이트 오차의 트레이스 노름을 사용하여 위상 범위 $ \alpha $ 에서의 총 오차를 바ounds하여, 이 값이 임계 갭보다 작게 유지됨을 보이는 것.
• 게이트 근사화 과정 동안 비자기성 검사 문제의 약속 갭이 유지되어 QMA-완전성 유지됨을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자기성 검사 문제의 QMA-완전성이 상수 깊이의 양자 회로로 제한되었을 때도 유지되는가?
• RQ2 짧은 깊이의 회로에서 QMA-완전성을 유지하기 위해 필요한 게이트 정밀도 수준은 무엇인가?
• RQ3 유한한 유니버설 게이트 집합을 사용할 경우, 비자기성 검사 문제의 QMA-완전성이 다항로그 또는 로그 깊이 회로로 확장될 수 있는가?
• RQ4 게이트 근사 오차는 비자기성 검사 문제의 위상 범위와 약속 갭에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제한된 게이트 정밀도와 고정된 유니버설 게이트 집합과 같은 물리적 제약 조건 하에서도 비자기성 검사 문제의 딱딱함은 견고한가?

주요 결과

• 각 게이트가 Ω(log n) 비트의 정밀도로 지정될 경우, 비자기성 검사 문제의 QMA-완전성은 상수 깊이의 양자 회로에서 유지된다.
• 임의의 유한한 유니버설 게이트 집합으로 구성된 회로에서, 회로 깊이가 O(log^δ(n))이며 δ ≈ 3일 경우 문제의 QMA-완전성은 유지된다.
• 특정 유니버설 게이트 집합이 존재하여, 비자기성 검사 문제의 QMA-완전성이 심지어 로그 깊이의 회로에서도 유지된다.
• 1차원 국소 해밀토니안 문제에서 비자기성 검사 문제로의 감소 과정은 약속 갭을 유지하며, 상수 깊이 제약 조건 하에서도 QMA-완전성을 유지한다.
• 소로바이-키타에프 정리를 통해 유한한 게이트 집합으로 유한한 오차 범위를 유지할 수 있으며, 이는 약속 갭을 닫지 않아 문제의 딱딱함을 유지한다.
• 회로의 위상 범위 $ \alpha $ 에서의 총 오차는 π와 게이트 오차 노름의 합으로 바ounds되며, 이는 역다항식 약속 갭보다 작게 만들 수 있다.