[논문 리뷰] Non-Simplicial Nerves for Two-Dimensional Categorical Structures

Nathaniel G. Watson|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 (2,1)-범주에 대한 Duskin의 단체적 네트워크 구축을 ∆², Γ, Θ₂ 위의 프레시피 계열에 값이 있는 새로운 네트워크로 일반화하며, 이러한 네트워크가 고차원 내부 홀을 위한 유일한 메우개를 갖는 조건을 정확히 만족하는 프레시피 계열임을 보여준다. 주요 기여는 '내부-칸 Γ-집합'을 통한 대칭 모노이드 (∞,0)-범주에 대한 조합적 모델을 제안하며, 이는 E∞-공간과 동치일 것이라고 추측한다.

ABSTRACT

The most natural notion of a simplicial nerve for a (weak) bicategory was given by Duskin, who showed that a simplicial set is isomorphic to the nerve of a $(2,1)$-category (i.e. a bicategory with invertible $2$-morphisms) if and only if it is a quasicategory which has unique fillers for inner horns of dimension $3$ and greater. Using Duskin's technique, we show how his nerve applies to $(2,1)$-category functors, making it a fully faithful inclusion of $(2,1)$-categories into simplicial sets. Then we consider analogues of this extension of Duskin's result for several different two-dimensional categorical structures, defining and analysing nerves valued in presheaf categories based on $Δ^2$, on Segal's category $Γ$, and Joyal's category $Θ_2$. In each case, our nerves yield exactly those presheaves meeting a certain "horn-filling" condition, with unique fillers for high-dimensional horns. Generalizing our definitions to higher dimensions and relaxing this uniqueness condition, we get proposed models for several different kinds higher-categorical structures, with each of these models closely analogous to quasicategories. Of particular interest, we conjecture that our "inner-Kan $Γ$-sets'' are a combinatorial model for symmetric monoidal $(\infty,0)$-categories, i.e. $E_\infty$-spaces. This is a version of the author's Ph.D. dissertation, completed 2013 at the University of California, Berkeley. Minor corrections and changes are included.

연구 동기 및 목표

• Duskin의 (2,1)-범주에 대한 단체적 네트워크 구축을 새로운 범주적 구조로 확장하기 위해.
• ∆², Γ, Θ₂ 위의 프레시피 계열에 대한 범주적 구조에 대해 네트워크를 정의하기 위해.
• 고차원 내부 홀에 대해 유일한 메우개를 갖는 홀 메우기 조건을 통해 이러한 네트워크를 특성화하기 위해.
• 쿼시스카테고리와 유사한 고차 범주적 구조에 대한 새로운 조합적 모델을 제안하기 위해.
• 내부-칸 Γ-집합이 대칭 모노이드 (∞,0)-범주(즉, E∞-공간)를 모델링할 것이라는 추측을 하기 위해.

제안 방법

• 세 개의 연산 χ를 갖는 집합 X에서 이원 범주 Bic(X)를 구성하며, 조합의 조건을 기록하기 위해 Glenn 표를 사용한다.
• Duskin 네트워크 N(Bic(X,χ))를 정의하며, 차원 ≥3에 대해 내부 홀에 대해 유일한 메우개를 갖는 단체적 집합으로서의 성질을 만족한다.
• Verity 이중 범주(VDCs)에 대한 이중 단체적 네트워크를 도입하며, 내부-칸 조건을 만족하는 이중 단체적 집합으로 매핑한다.
• 대칭 모노이드 군주에 대한 Γ-네트워크를 정의하며, '내부-칸 Γ-집합'을 E∞-공간의 후보 모델로 이끌어낸다.
• Joyal의 범주 Θ₂를 사용하여 구형 네트워크를 구성하며, '재미있는 이중 범주' FBic(X)를 정의하고 Θ₂-집합과의 동치성을 증명한다.
• 홀 메우기 조건을 고차원으로 일반화하며, 다양한 고차 범주적 구조를 모델링하기 위해 유일성 조건을 완화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Duskin의 (2,1)-범주에 대한 네트워크 구축이 ∆², Γ, Θ₂와 같은 다른 프레시피 계열로 확장될 수 있는가?
• RQ2 ∆², Γ, Θ₂ 위의 프레시피 계열에 대해, 이중 범주적 구조의 네트워크와 관련된 특성 조건은 무엇인가?
• RQ3 내부-칸 조건을 갖는 Γ-집합을 기반으로 한 대칭 모노이드 (∞,0)-범주의 조합적 모델이 존재하는가?
• RQ4 Verity 이중 범주의 네트워크와 재미있는 이중 범주의 네트워크는 그 기초가 되는 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 유일한 메우개를 갖는 홀 메우기 조건을 쿼시스카테고리 이외의 고차 범주적 구조를 모델링하기 위해 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• Duskin 네트워크는 (2,1)-범주를 단체적 집합에 완전 충실하게 매립하며, 차원 ≥3에 대해 내부 홀에 대해 유일한 메우개를 갖는 조건으로 특성화된다.
• Verity 이중 범주의 이중 단체적 네트워크는 내부-칸 조건을 만족하는 이중 단체적 집합을 생성하며, 네트워크와 이중 범주 구조 간에 자연 동형이 존재한다.
• 대칭 모노이드 군주의 Γ-네트워크는 내부-칸 Γ-집합을 생성하며, 논문은 이것이 E∞-공간의 모델이 될 것이라고 추측한다.
• Θ₂-네트워크 구성은 재미있는 이중 범주와 일반화된 내부-칸 조건을 만족하는 Θ₂-집합 간의 동치성을 확립한다.
• 논문은 네트워크와 분류 함수자(즉, N과 Bic, N과 Vdc, Nθ와 FBic)가 범주론적 동치 관계를 이룬다는 것을 보여준다.
• 내부-칸 Γ-집합의 구성이 대칭 모노이드 구조와 호환됨을 보이며, 이는 그것이 E∞-공간을 모델링할 것이라는 추측을 뒷받침한다.