[논문 리뷰] Nonlinear interaction of waves in elastodynamics and an inverse problem

Maarten V. de Hoop, Günther Uhlmann외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 10.

Numerical methods in inverse problems인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비선형 탄성의 일반화된 다섯 상수 모델을 사용하여 탄성역학에서의 비선형 파동 상호작용을 연구한다. 왜곡된 평면파에서 비선형 반응의 주요 기호를 분석함으로써, 변위-응력 맵이 매질 내 각 점에서 탄성 계수 A, B, λ, μ를 유일하게 결정함을 입증하여 경계 측정치로부터 비선형 역문제를 해결한다.

ABSTRACT

We consider nonlinear elastic wave equations generalizing Gol'dberg's five constants model. We analyze the nonlinear interaction of two distorted plane waves and characterize the possible nonlinear responses. Using the boundary measurements of the nonlinear responses, we solve the inverse problem of determining elastic parameters from the displacement-to-traction map.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 다섯 상수 모델에 의해 지배되는 비선형 탄성 매질에서 두 개의 왜곡된 평면파 간의 비선형 상호작용을 특성화하는 것.
• 비선형 상호작용을 통해 생성될 수 있는 진동 모드(P, SV, SH)와 그 반응이 비영이 되는 조건을 규명하는 것.
• 비선형 반응의 경계 측정치로부터 탄성 계수 A, B, λ, μ를 복원하는 역문제를 해결하는 것.
• 변위-응력 맵이 비선형 반응의 주요 기호를 충분히 포함하고 있음을 입증하여 전체 매개변수 식별이 가능함을 보장하는 것.

제안 방법

• 자기 에너지의 변형 텐서에 대한 삼차 전개로부터 유도된 매질 매개변수 λ, μ, A, B, C가 매끄럽게 공간적으로 변화하는 일반화된 비선형 탄성 모델을 사용한다.
• 기하광학과 미세국소 해석을 이용하여 왜곡된 평면파 해를 구성하며, 波front는 P 및 S 파의 지오데식 기준에 따라 따라간다.
• 작은 매개변수 δ에 대한 점근 전개를 통해 비선형 상호작용을 분석하고, 주요 비선형 반응이 특정 라그랑주다양체에 대한 공형분포임을 규명한다.
• 에너지 전개에서 유도된 변형 텐서와 응력 유사 텐서를 사용하여 비선형 반응의 주요 기호를 명시적으로 계산한다.
• 비선형 반응의 주요 기호를 충분히 큰 시간 T₀ > 2·diam(Ω)에서의 변위-응력 맵에서 추출함으로써 역문제를 해결한다.
• SV 모드 반응으로부터 λ + B와 2μ + ½A의 값을 도출하고, 선형화된 데이터(λ, μ)와 결합함으로써 각 점에서 A와 B가 유일하게 재구성됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 다섯 상수 모델 하에서 탄성역학에서 P 및 S 파의 조합이 관측 가능한 비선형 반응을 생성하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비선형 상호작용이 경계에서 감지 가능한 P, SV 또는 SH 파를 생성하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 변위-응력 맵이 3차원 등방성 매질에서 비선형 탄성 계수 A, B, λ, μ를 유일하게 결정할 수 있는가?
• RQ4 비선형 반응의 주요 기호가 한 점에서 탄성 계수에 대한 정보를 어떻게 포함하고 있는가?
• RQ5 비선형 반응이 선형 파 도착에 의해 오염되지 않도록 보장하기 위해 필요한 최소 측정 시간은 얼마인가?

주요 결과

• P + P → SH 및 P + SH → P 상호작용은 λ + 2B + 3μ + A ≠ 0이면 비영이 된다.
• P + SH → SH 상호작용은 λ + 2μ + ½A + B ≠ 0 또는 μ + ½A + B ≠ 0이면 일반적으로 비영이 된다.
• P + SV → SV 상호작용은 λ + B ≠ 0 또는 2μ + ½A ≠ 0이면 비영이 된다.
• 비선형 반응에서 SV 모드 반응은 해당 점에서 λ + B 및 2μ + ½A의 값을 제공한다.
• 선형화된 데이터(λ, μ)와 비선형 반응 기호를 결합함으로써 영역 내 각 점에서 A와 B가 유일하게 결정된다.
• 변위-응력 맵을 사용하여 다섯 매개변수(λ, μ, A, B, C) 모두에 대한 역문제를 해결하였으며, C는 고려된 구성에서 주요 비선형 반응에 영향을 주지 않는다.