[논문 리뷰] Nonlocal elliptic equation in Hölder space and the martingale problem

Chengcheng Lin, Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 01.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 31인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 베소프-홀더 공간에서 비국소 타입 타원형 방정식에 대해 특이성 있는 유동을 갖는 경우에 대해 샤우더 유형의 추정을 수립하며, 리틀우드-파일리 이론과 보니의 분해를 활용한다. 이는 관련된 마팅게일 문제의 존재성과 유일성을 증명하고, 해의 일변도 분포가 베소프 공간 내에서 밀도를 갖는다는 것을 보여주며, 비정규 계수와 α ∈ (0,1)의 경우에도 정규성 이론을 확장한다.

ABSTRACT

The well-posedness of nonlocal elliptic equation with singular drift is investigated in Besov-Hölder spaces. As an application, we show the existence and uniqueness for corresponding martingale problem. Moreover, we prove that the one dimensional distribution of the martingale solution has a density in some Besov space.

연구 동기 및 목표

• 비국소 타원형 방정식에 대해 비국소 해석적 공간에서의 전역 샤우더 유형 추정을 수립하는 것.
• 비정규 계수를 갖는 비국소 생성자와 관련된 마팅게일 문제의 잘 정의됨을 증명하는 것.
• 비국소 마팅게일 해의 일변도 분포가 베소프 공간 내에서 밀도를 갖는다는 것을 보여주는 것.
• α ∈ (0,1)의 경우 비영이면서 비정규 유동 b ∈ C^β를 갖는 상황에서 정규성 이론을 확장하는 것.
• 기존 결과를 일반화하여 점프 커널 κ(x,z)에 대한 하한 조건을 표준적인 κ ≥ λ > 0 조건을 초월하여 약화시키는 것.

제안 방법

• 해의 연산자에 대해 주파수 국소화된 최대 부등식을 도출하기 위해 리틀우드-파일리 이론을 활용한다.
• α ∈ (1,2) 및 β < 0일 때 비국소 연산자 L_κ^α를 다루기 위해 보니의 분해를 적용한다.
• 해의 복원 방정식을 푸는 u에 대해 Φ(x) = u(x) + x를 통한 변수 변화를 활용하여 SDE를 보다 단순한 형태로 변환한다.
• 원래의 SDE에서의 비정규 유동을 갖는 문제를, 유한한 점프 활동성과 정규 계수를 갖는 새로운 SDE로 줄이기 위해 미분동형사상 Φ를 구성한다.
• 베소프 공간 내에서 모멘트 추정과 보간 기법을 활용하여 해 분포의 밀도를 제어한다.
• 이중성과 베소프 공간 내에서 L^p 추정을 활용하여 전이 밀도가 특정 γ 및 q에 대해 B^γ_{q,∞}에 속한다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 α ∈ (0,1)일 때, 특이성 있는 유동을 갖는 비국소 타원형 방정식에 대해 샤우더 유형 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ2 점프 커널 κ(x,z)와 b ∈ C^β에 대해 어떤 조건에서 마팅게일 문제가 유일한 해를 갖는가?
• RQ3 α-스테이블 과정에 의해 구동되는 SDE의 해에 대해, 일변도 분포가 베소프 공간 내에서 밀도를 갖는가?
• RQ4 비정규 유동을 갖는 경우, Φ(x) = u(x) + x의 변환 하에서 해의 정규성이 어떻게 유지되는가?
• RQ5 이러한 비국소 SDE에서 특이성 있는 유동을 갖는 경우, 전이 밀도의 최적 정규성은 어떤 베소프 공간 내에서 성립하는가?

주요 결과

• α ∈ (0,1], β ∈ (1−α,ϑ), b ∈ C^β 이고 ϑ > max{0,1−α}일 때, 방정식 λu − L_κ^αu − b·∇u = f 는 유일한 해 u ∈ C^{α+β}를 가지며, 추정식 (λ−λ₀)‖u‖_{C^β} + ‖u‖_{C^{α+β}} ≤ C‖f‖_{C^β} 를 만족한다.
• α ∈ (1,2) 이고 β ∈ (−(α−1)/2 ∧ ϑ, ϑ) 일 때, 동일한 잘 정의됨과 정규성 결과가 C^{α+β}에서 동일한 유형의 추정식을 갖는다.
• α ∈ (0,1] 일 때, 마팅게일 해의 전이 밀도 p_t^X 는 0 < γ < α(α+β−1) 및 1 ≤ q < d/(d+γ−α(α+β−1)) 일 때, 베소프 공간 B^γ_{q,∞} 에 속한다.
• α ∈ (1,2) 일 때, 밀도는 0 < γ < (α+β−1) ∧ (ϑ/α) 및 1 ≤ q < d/(d+γ−(α+β−1)∧(ϑ/α)) 일 때, p_t^X ∈ B^γ_{q,∞} 를 만족한다.
• 밀도 결과는 원래 SDE를 유한한 점프 강도와 정규 계수를 갖는 SDE로 변환하는 미분동형사상 Φ(x) = u(x) + x 를 통한 측도 변화를 통해 확립된다.
• 증명은 베소프 공간 내에서의 모멘트 추정과 이중성 추론을 기반으로 하며, 해의 특성 함수의 L^p 노름을 제어한다.